1、313 导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图(1)复习引入圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线
2、一边的直线叫切线曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线为课题引入作铺垫.如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线（2）讲解导数的几何意义2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为
3、，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.3说明：(1)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率.(2)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 指导学生理解导数的几何意义，可以讨论(3) 讲解范例例1、曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲
4、线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=切线的斜率为2.切线的方程为y2=2(x1)，即y=2x. 例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k= 切线的方程为y4=5(x1)，即y=5x1例3、求曲线f(x)=x3x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a.解：tana=通过例子，更深入理解导数的概念a0，a=.切线的倾斜角为.(4)课堂小结 导数的几何意义，怎么求曲线的切线。补充题目: 1导数的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数在 处的 即： 函数平均变化率的几何意
5、义是什么，请在函数图像中画出来。1）平均变化率的几何意义： 2）当时，观察图形变化。 3导数的几何意义是什么？导数的几何意义是 4在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在.附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？ （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）5如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到
6、0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上几题可以让学生在课堂上完成)6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=+2,x处（）y，x处答案：(1)k=，（）k=7已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y2=4(x1)即y=4x28.求曲线y=x2+1在点P(2，5)处的切线方程.解：k=切线方程是y5=4(x+2)，即y=4x3.