1、等差数列的前n项和 (20分钟35分)1.设数列an是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于()A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知解得所以S8=8a1+d=32.2.在等差数列an和bn中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列an+bn的前100项的和为()A.0B.4 475C.8 950D.10 000【解析】选C.设cn=an+bn,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,cn是等差数列,所以前100项和S100=8 950.3.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a
2、9等于()A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=236-39=45.4.设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则等于()A.B.C.D.【解析】选A.设S3=m,因为=,所以S6=3m,所以S6-S3=2m.由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,所以S12=10m.所以=.5.(2019北京高考)设等差数列an的前n项和为Sn,若
3、a2=-3,S5=-10,则a5=,Sn的最小值为.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,Sn=na1+d=,当n=4或5时,Sn最小,为-10.答案:0-106.在等差数列an中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.【解析】方法一:设等差数列an的公差为d.由S17=S9,得2517+(17-1)d=259+(9-1)d,解得d=-2.所以Sn=25n+(n-1)(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质,知当n=13时,Sn有最大值169.方法二:设等差数列an的公差为d.由
4、S17=S9,得2517+(17-1)d=259+(9-1)d,解得d=-2.因为a1=250,由解得n,所以当n=13时,Sn有最大值,S13=2513+=169.【补偿训练】设数列an是公差不为零的等差数列,Sn是数列an的前n项和,且=9S2,S4=4S2,求数列an的通项公式.【解析】设等差数列an的公差为d,由Sn=na1+d及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d),4a1+6d=4(2a1+d).由得d=2a1,代入,有=a1,解得a1=0或a1=.当a1=0时,d=0(舍去),因此a1=,d=.故数列an的通项公式为an=+(n-1)=(2n-1). (30分钟60分)一
5、、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于()A.35B.42C.49D.63【解析】选B.在等差数列an中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=214,解得S15=42.2.(2018全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12【解析】选B.3=2a1+d+4a1+d9a1+9d=6a1+7d3a1+2d=06+2d=0d=-3,所以a5=a1+4d=2+4(-3)=-10.3.(20
6、20淮北高一检测)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是()A.B.C.D.【解题指南】由题意可得中间部分的为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,可得到a1和d的方程,即可求解.【解析】选D.由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得20+(a1+3d)+(a1+4d)=a1+(a1+d),解得a1=.4.(2020仙游高一检测)记Sn为等差数列的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.an=2n-5B.an=3n-10C.S
7、n=2n2-8nD.Sn=n2-2n【解析】选A.由题知,解得,所以an=2n-5.所以Sn=n2-4n.【光速解题】选A.本题还可用排除法,对B,a5=5,S4=-100,排除B;对C,S4=0,a5=S5-S4=252-85-0=105,排除C;对D,S4=0,a5=S5-S4=52-25-0=5,排除D.5.等差数列an的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此数列的项数为()A.5B.6C.7D.8【解析】选B.由题意知a1+a2+a3+a4=124,an+an-1+an-2+an-3=156,所以4(a1+an)=280,所以a1+an=70.又S=70=210,所以
8、n=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019江苏高考)已知数列an(nN+)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8=4(2a1+7d)=16.答案:167.已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2 018,-=6,则S2 020=.【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 019d=-2 018+2 019=1,所以S2 020=12 020=2 020.答案:2 0208.(
9、2020全国卷)记Sn为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:an=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:Sn=na1+d,nN*,可得:S10=10+=-20+45=25,所以S10=25.答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列an中.(1)a1=105,an=994,d=7,求Sn;(2)d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.【解析】(1)d=7,解得n=12
10、8.所以Sn=70 336.(2)由得解方程组得或10.设等差数列的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列的通项公式及前n项和公式.(2)设数列bn的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9.所以 整理得解得 所以an=1+(n-1)2=2n-1,Sn=n1+2=n2.(2)由(1)知bn=,所以b1=,b2=,bm=,若b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列,则2b2=b1+bm,所以=+,即6(1+t)(2m
11、-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t=1+.又因为m3,mN,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m3,mN)成等差数列.即当t=5时,b1,b2,b4成等差数列;当t=3时,b1,b2,b5成等差数列;当t=2时,b1,b2,b7成等差数列.1.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120,公差为5,那么这个多边形的边数n等于()A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.an=120+5(n-1)=5n+115,由an180得n13且nN+,由n边形内角和定理得,(n-2)180=n120+5.解得n=16或n=9,因为n0,f(34)=-100,所以n35,因此最下面一层最少放35根.因为1+2+3+35=630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1+2+3+7=28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层.故最下面一层放35根,共堆了28层.