1、2.1函数2.1.4函数的奇偶数理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章函数考点一考点二考点三考点四问题1：对于函数f(x)x2，f(x)|x|，以x代替x函数值发生变化吗？其图象有何特征？提示：以x代替x各自的函数值不变，即f(x)f(x)；图象关于y轴对称问题2：对于函数f(x)x3与f(x)，以x代替x函数值发生变化吗？其图像有何特征？提示：以x代替x各自的函数值互为相反数，即f(x)f(x)；图象关于原点对称1奇、偶函数的概念名称定义奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做奇函数偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都
2、有，且，则这个函数叫做xDf(x)f(x)xDg(x)g(x)偶函数 2奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于对称，则这个函数是偶函数坐标原点坐标原点y轴y轴 (1)由定义可知，若x是定义域中的一个数值，则x也一定在定义域中.因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称的.若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数.(2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这
3、一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质 思路点拨先判断定义域是否关于原点对称，然后按奇偶性的定义来判断一点通判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数解析：A、D两项中，函数均为偶函数；B项中，函数为非奇非偶正数；C项中，函数为奇函数答案：C2若函数f(x)(x1
4、)(xa)为偶函数，则a()A2 B1C1 D2解析：f(x)(x1)(xa)是偶函数，f(x)(x1)(xa)f(x)恒成立x2(a1)xax2(a1)xa恒成立.a10，即a1.答案：C 例2如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小思路点拨 法一：利用偶函数图象的对称性比较法二：利用f(3)f(3)，f(1)f(1)比较精解详析 法一：函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，如图由图象可知f(1)f(3)法二：由图象可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，f(1)f(1)，f(3)f(3)f(1)0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式思路点拨 将
5、x0上求解同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数 一点通 解答该类问题的思路：(1)“求谁设谁”，即求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内(2)要利用已知区间的解析式进行计算(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，则未必有f(0)0.6若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)()Ax2B2x2C2x22 Dx21解析：f(x)g(x)x23x1，(1)f(x)g(x)x23x1.f(x)为偶函数，f(x)f(x)；g(x)为奇函数，g(x)g(x)f(x)g(x)x23x1
6、.(2)联立可得f(x)x21.答案：D7已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解：设x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.例4(12分)设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围精解详析 由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)(4分)又f(x)在0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数(8分)一点通 此类问题的解答思路是：
7、先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件8已知函数f(x)在5,5上是偶函数，f(x)在0,5上是单调函数，且f(4)f(2)，则下列不等式一定成立的是()Af(1)f(3)Bf(2)f(3)Cf(3)f(1)解析：由f(x)是偶函数，得f(4)f(2)f(4)f(1)f(2)f(3)f(5)而f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)，f(3)f(5)，只有D正确答案：D答案：A (1)奇偶性与单调性的相关性质若函数f(x)为奇函数，则当f(x)在区间a，b上是单调函数时，f(x)在其对称区间b，a上也是单调函数，且单调性相同若函数f(x)为偶函数，则当f(x)在区间a，b上是单调函数时，f(x)在其对称区间b，a上也是单调函数，且单调性相反 (2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0.(3)既是奇函数又是偶函数的函数表达式是f(x)0，xA.定义域A是关于原点对称的非空数集点击此图片进入创新演练
