1、河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D2.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.3.等差数列的前n项和为，若，则A. 152B. 154C. 156D. 158【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出【详解】设公差为d，由，可得，解出，故选：C【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 再向左平行移动个单位长度B
2、. 再向右平行移动个单位长度C. 再向右平行移动个单位长度D. 再向左平行移动个单位长度【答案】B【解析】【分析】现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长度得到.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 2【答案】B【解析】方程有解等价于，所以实数的最小值为66.已知数列的前n项和为，且对于任意，满足，则的值为A. 90B. 91C. 96D. 100【答案】B【
3、解析】【分析】对于任意，满足，可得，可得利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】对于任意，满足，数列在时是等差数列，公差为2，则故选：B【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用。7.已知函数 在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由，即， 所以在区间是函数含原点的递增区间， 又因为函数在上单调递增，所以， 所以满足不等式组，解得， 又因为，所以
4、， 又因为函数在区间上七号取得一次最大值，根据正弦函数的性质，可知，即函数在处取得最大值，可得，所以，综上可得，故选C8.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（ ）A. 2488B. 2495C. 2498D. 2500【答案】D【解析】由 的定义知 ，且若 为奇数则 则 选D9.如图，半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，那么的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知中半径为2的切直线
5、MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案【详解】由已知中半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，弓形PmQ的面积恒成立，故为增函数，四个图象均满足又在时，故函数为凹函数，在时，故函数为凸函数，此时D图象满足要求故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键10.已知
6、函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】定义域为，当时，令，解得，由，得，由，得，当时，.又是偶函数，图象关于轴对称，只有个公共点，最大值为1则最长周期为，即，即，则，解得，故周期最大的，故选A11.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，则 所以函数 在 上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此 ， ， ，即 ，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区
7、间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行12.已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是A. 当时，有3个零点；当时，有4个零点B. 当时，有4个零点；当时，有3个零点C. 无论k为何值，均有3个零点D. 无论k为何值，均有4个零点【答案】C【解析】试题分析：令,解得令解得或即或解得或时,此时方程只有一个解所以无论为何值原函数有3个零点故C正确考点：函数零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为_【答案】，【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围
8、，求出角的范围即可【详解】求导在区间上是单调函数，则有在恒大于等于0或恒小于等于0，若在区间上单调减，则，故即若在区间上单调增，则，,所以即综上所述，故答案为：，【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题14.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，记其前项和为，设（为常数），则_（用表示）【答案】【解析】由题意可得。答案：15.设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，
9、再结合B的范围求出c的范围.【详解】由及余弦定理可得 ，即，所以又为锐角三角形，所以由正弦定理可得由且可得，所以，所以，即故的取值范围为故答案为：【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.16.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区
10、间为 ，故填： .三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，,点在边上，且 .（1）若的面积为，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式求出.再由余弦定理求.（2）由正弦定理，有，联立消CD得,解得利用诱导公式得或.试题解析：解：（1）因为，即，又，所以.在中，由余弦定理得，解得.（2）在中，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，由正弦定理得，即，化简得，于是，因为，所以，所以或，解得或，故或.18.已知是各项都为正数的数列，其前n项和为且为与的等差中项求数列的通项公式；设，求的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】通过计算出
11、数列的前几项，进而猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可；通过分母有理化可知，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可【详解】为与的等差中项，当时，易知，当时，整理得：，解得：或舍，当时，整理得：，解得：或舍，猜想：下面用数学归纳法来证明：当时，结论显然成立；假设当时成立，即，则，即，整理得：，解得：或舍，即当时结论也成立；由可知由可知，当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查数学归纳法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题19.设函数求的单调增区间；已知的内角分别为A，B，C，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最大值【答案】（），；（）6.【解
12、析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间；由题意可得的内切圆的半径为1，为等腰三角形，底边上的高为3，求得腰AB的值，可得的最大值【详解】函数，令，求得，可得函数的增区间为，中，且能够盖住的最大圆面积为，即的内切圆O的面积为，的内切圆半径为1，则，要使最大，为等腰三角形，此等腰三角形的底边上的高为3，腰，故要求的最大值为6【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、余弦定理以及基本不等数的应用，属于中档题20.已知数列满足：，求数列的通项公式；设，数列的前n项和为，试比较与的大小【答案】（）；（）详见解析.【解析】【分析】直接利用
13、利用递推关系式求数列的通项公式；首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：数列满足，时，相减可得：，时，综上可得：证明：，时，【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。21.已知函数.（1）求在上的最值；（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值.【答案】(1) 当时，当时，. (2) .【解析】分析：，在上单调递增，即可求解；（2）g（x）=（x2+2x-1-a）ex，x1+
14、x2=-2，a-2，x2（-1，+），g（x2）t（2+x1）（ex2+1）（x22-1-a）ex2t（2+x1）（ex2+1），-2x2ex2t（-x2）（ex2+1），当x2=0时，tR；当x2（-1，0）时，恒成立，当x2（0，+）时，恒成立，综上所述.详解：（1），在上单调递增，当时，当时， （2），则根据题意，方程有两个不同的实根，所以,即,且.由，可得，又，所以上式化为对任意的恒成立. （）当时，不等式恒成立，；（）当时，恒成立，即.令函数，显然，是上的增函数，所以当时，所以. （）当时，恒成立，即.由（）得，当时，所以.综上所述.点睛：本题考查了利用导数求解函数的最值、极值，考查
15、了分类讨论思想、转化思想，属于难题22.已知函数.（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1) 或 (2) 【解析】【分析】(1)先求导数，再根据a讨论导函数零点，根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后结合零点存在定理确定只有一个零点的条件，(2)先求导数并分解因式，根据m讨论导函数零点情况，再根据导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据单调性确定函数最值，列不等式解得的取值范围【详解】（1）函数的定义域为当时，所以当时，时无零点当时，所以在上单调递增， 取，则，因为，所以，此时函数恰有一个零点 当时，令，解得当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增要使函数有一个零点，则即 综上所述，若函数恰有一个零点，则或 （2）令，根据题意，当时，恒成立，又 若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意若时，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意当时，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故综上，的取值范围是【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
