1、24 抛物线1知识与技能通过本节学习，了解抛物线的定义、标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程，并注意标准方程的形式，掌握四种形式的特点，会利用待定系数法求抛物线的标准方程2过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法坐标法，从而培养学生观察、类比、分析、计算的能力3情感态度与价值观通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力重点：抛物线的定义及标准方程难点：建立标准方程时坐标系的选取1抛物线的定义要从以下几点考虑(1)定义的实质可归纳为“一动三定
2、”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)(2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线，如到点F(1,0)和到直线l：xy10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，其轨迹是一条直线2抛物线的标准方程一条抛物线，由于它在平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种不同的形式对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析共同点：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于
3、一次项系数的绝对值的；(4)焦点到准线的距离均为p.不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为2px，左端为y2，对称轴为y轴时，方程的右端为2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号，开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向可用如下口诀帮助记忆：对称轴要看一次项，符号确定开口方向如果y是一次项，负时向下
4、，正向上如果x是一次项，负时向左，正向右3学习时要注意区分抛物线和双曲线的一支，初学者很容易将抛物线与双曲线的一支混淆二者区别在于：当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率1平面内_叫做抛物线，定 点 F叫 做 抛 物 线 的 _，定 直 线 l叫 做 抛 物 线 的_2现将这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：3.抛物线上的点到焦点的距离，叫做_，当y22px(p0)时，抛物线上的点的坐
5、标P(x0，y0)，焦点F(，0)，则焦半径|PF|_.例1 判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：(1)过点P(0,3)且与直线y30相切的动圆的圆心M的轨迹；(2)到点A(0,2)的距离比到直线ly4的距离小2的动点P的轨迹解析(1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y3的距离，动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y3为准线的抛物线(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线ly2的距离相等，P的轨迹是以点A为焦点，以直线y2为准线的抛物线已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线ly轴，l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹解析依题意，|PA|PB|，且|PA|为点P到y轴的
6、距离，点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线.例2已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值(2)求抛物线的焦点和准线方程(2)p4，抛物线的焦点坐标为(2,0)，准线方程是x2.说明1.求抛物线方程的方法(1)定义值，直接利用定义求解(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)2求抛物线焦点、准线的方程的方法首先要将抛物
7、线方程化成标准形式，求出p后根据抛物线的图象写出焦点和准线的方程，注意垂线与x轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)经过点P(4，2)；(2)焦点在直线3x4y120上解析(1)点P在第四象限，抛物线开口向右或向下，标准方程可设为y22px(p0)或x22py(p0)将点P(4，2)代入y22px，得2p1；将P(4，2)代入x22py，得2p8.所求抛物线的标准方程为y2x或x28y.(2)由于有标准方程的抛物线的焦点在坐标轴上，故由直线3x4y120与坐标轴的交点可得抛物线的焦点令x0，得y3，令y0，得x4.抛物线的
8、焦点为(0，3)或(4,0)例3已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小分析如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小说明 确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2
9、)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标例4某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？分析要解决本题，首先要建立适当的坐标系，求出拱桥的方程，然后求出船与桥恰有两个触点时的坐标，进而转化为水面与拱顶的距离说明 本题是与抛物线有关的应用题，解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的坐标时，要细心，如A、B相等一辆卡车高3 米，宽1.6米，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a米，求使卡车通过的a的最小整数值例5定长为3的线段AB的端
10、点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标分析如图所示，线段AB 中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值，因此，只要研究A、B两点的横坐标之和最小即可解析如图，设F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则说明 本题从分析图形性质出发将三角形的性质应用到解析几何问题中，再结合抛物线的定义和方程，这使解答简捷准确如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾
11、斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解析(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px.点P(1,2)在抛物线上，222p1，得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.例6 求抛物线xay2(a0)的焦点坐标、准线方程辨析转化成标准方程，注意a的讨论一、选择题1抛物线y220 x的焦点坐标是()A(10,0)B(5,0)C(0,10)D(0,5)答案B解析y220 xy2210 x焦点在x轴正半轴其坐标为(5,0)2在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x2y3距离相等的点的轨迹是()A直线B抛物线C圆D双曲线答案A解析
12、点(1,1)在直线x2y3上，轨迹为过点(1,1)且与x2y3垂直的直线3若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程是()Ax40 Bx40Cy28xDy216x答案D解析依题意可知M点到F的距离等于M点到直线x4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴，其方程为y216x，故答案为D.答案8解析椭圆焦点为(2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m8.5AB为抛物线y22px的一条过焦点F的弦，A、B在准线上的射影分别为A1和B1，则A1FB1_.答案90三、解答题6求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y22mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|6.(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(5，2)到焦点的距离是6.
