1、1知识与技能了解解析几何主要讨论的两个基本问题掌握求曲线方程的一般方法和步骤能够利用曲线的方程研究曲线的性质2过程与方法求曲线方程时，要注意数形结合思想的运用；在化简过程中，应注意转化一定要等价3情感态度与价值观通过本节的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法的作用重点：确定曲线的方程和借助方程研究性质难点：寻求动点所满足的关系1曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究曲线的性质求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得
2、的方程也较简单根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系结合基本公式列出等式，并进行化简2曲线的对称性在曲线方程里，如果以y代y方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，它关于x轴的对称点P(x，y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称同理，如果以x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以x代x，以y代y方程不变，那么曲线关于原点对称容易证明，如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称，事实上，设点P(x，
3、y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，y)必在曲线上，因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(x，y)必在曲线上，因为P(x，y)，P2(x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称3由方程研究曲线的性质与图象，主要从曲线的范围、对称性、截距几个方面可确定曲线的大致形状，画方程的曲线时，要保持方程变形的等价性1解析几何主要讨论下面的两个基本问题：(1)由曲线求它的方程；(2)利用方程研究曲线的性质2求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)设动点M的坐标为(x，y)；(3)把几何条件转化为坐标表示；(4)证明3利用方程研究曲线的性质：(1)曲线的组成；(2)
4、曲线与坐标轴的交点；(3)曲线的对称性质；(4)曲线的变化情况；(5)画出方程的曲线例1已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2y21，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线分析用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线解析如图所示，设MN切圆于N，于是动点M组成的集合是PM|MN|MQ|，常数0，圆的半径|ON|1，|MN|2|MO|2|ON|2|MO|21.设点M的坐标为(x，y)则说明 在求轨迹方程时，要注意：全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论，发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合合理的进
5、行数学语言间的转换，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和示意图，将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式，将不便于进行数学处理的语言化为便于处理的数学语言注意挖掘问题中的隐含条件注意解题过程中的信息反馈，作出恰当的处理答案A例2 在ABC中，B(1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂心H的轨迹方程分析由三角形垂心的定义得出：ACBH，如图所示，则可由kACkBH1，得到关于x，y的方程说明 直接法求轨迹方程是求轨迹方程的最常用方法，当题设条件中动点坐标x，y之间的等量关系容易找时，一般用此法已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,
6、2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程分析因为曲线在x轴上方，所以曲线上点的纵坐标y0，动点M(x，y)到定点A(0,2)的距离|MA|y2，由此可求得曲线的方程例3讨论方程x2yy2x0的曲线的性质，并描绘其曲线分析将方程转化为函数，利用函数的性质作图(4)单调性：在x(，1和x1，)时，y递减，在x1,1时，y递增(5)作图：通过列表描点作出函数在x0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示说明 描点作图充分展示了曲线与方程的关系，当然描点法比较麻烦，这类问题往往应用化归的思想，将方程问题转化为函数问题，利用函数的性质迅速作图例4某市环保部门对城市里的
7、一条污水河进行改造，即用隔离物将其封闭，隔离物横截面为对称的抛物线段(如图所示)，封闭处污水河宽AB为10米，隔离物最高点O到污水河面的距离为2米，当外围水域涨水时，污水河面随之升高分析 解答本题的关键是根据题意建立适当的坐标系，将实际问题转化为数学问题，求出曲线的方程例5 过定点A(a，b)任作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程辨析求曲线的轨迹方程，关键之一就是建立与动点M(x，y)有关的关系方程因观察认识的角度不同，所得关系也不同，解题时可以多角度思考本例可直接翻译题设条件，也可将条件变形转化为更直接、更简单的几何关系这一点对许多轨迹问题的解决皆有
8、启示作用一、选择题1到直线4x3y50的距离为1的点的轨迹方程为()A4x3y100和4x3y0B4x3y100和4x3y10C4x3y100和4x3y0D4x3y100和4x3y10答案A解析利用点到直线的距离公式易求2已知点M(2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y24(x2)Bx2y24Cx2y216 Dx2y216(x4)答案A解析由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|2，即x2y24，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2y24(x2)，故答案为A.3到A(2，3)和B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是()Axy10 Bxy1
9、0Cxy10 Dxy10答案C答案x2(y1)21(y0)以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)解析由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分5已知两直线a1xb1y10和a2xb2y10的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是_答案2x3y10解析P(2,3)在a1xb1y10上，代入得2a13b110，同理2a23b210.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x3y10上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x3y10.三、解答题6求(x1)2(y1)21关于直线xy0的对称曲线的方程(x11)2(y11)21，有(y1)2(x1)21，即(x1)2(y1)21.
