1、热点(八)球1(正四棱柱外接球)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D.2(圆柱与球的组合体)如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为()A3 B4C5 D63(正三棱柱内切球)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是()A96 B16 C24 D4842020山东师大附中模拟(三棱锥外接球)已知三棱锥S ABC中，SA平面ABC，且ACB，A
2、C2AB2，SA1.则该三棱锥的外接球的体积为()A. B13C. D.5(三棱锥外接球折叠问题)已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的BDC，则过A，B，C，D四点的球的表面积为()A3 B4 C5 D66(圆锥外接球)已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16的球面上，则该圆锥的体积为()A. B.C(2) D.或72020山东青岛检测(四面体内切球)已知球O与各棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积为()A8 B. C32 D2482020山东泰安质量检测(空间四边形外接球余弦定理)已知空间四边形ABCD，BAC，ABAC2，B
3、D10，CD8，且平面ABC平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为()A64 B112 C96 D12892020山东淄博模拟(三棱锥外接球余弦定理基本不等式)已知A，B，C三点都在表面积为100的球O的表面上，若AB4，ACB60，则球内的三棱锥O ABC的体积的最大值为()A8 B10 C12 D1610(多选题)(四面体外接球)四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上，AB是球O的一条直径，且AC2，BC4，现有下面四个结论，其中所有正确结论的编号是()A球O的表面积为20BAC上存在一点M，使得ADBMC若AD3，则BD4D四面体ABCD体积的最大值为11(多选题)2020山东临沂模
4、拟(四棱锥外接球)已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD平面ABCD，BC2，CDPCPD2.若点M为PC的中点，则下列说法正确的为()ABM平面PCDBPA平面MBDC四棱锥M ABCD外接球的表面积为36D四棱锥M ABCD的体积为612(多选题)(三棱锥外接球折叠问题)已知矩形ABCD，AB1，BC，将ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D ABC，则在翻折的过程中，有下列结论，其中正确的是()A三棱锥D ABC的体积最大值为B三棱锥D ABC的外接球体积不变C三棱锥D ABC的体积最大值时，二面角D AC B的大小是60D异面直线AB与CD所成角的最大值为9013(圆
5、锥内切球圆锥外接球)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为_14(圆柱外接球)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_15(三棱锥外接球折叠问题)下图是两个腰长均为10 cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A BD C，则三棱锥A BCD的外接球的体积为_ cm3.16(三棱锥内切球正方体表面积)一个正三棱锥(底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥)铁盒的底面边长为2，侧棱长为，则铁盒内切球的半径为_；若在该铁盒内放一个小正方体，且小正方体在铁盒内可以随意转动，则
6、该小正方体的表面积的最大值为_热点(八)球1答案：D解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r 1，所以V球13，故选D.2答案：C解析：设实心球的半径为R，实心金属几何体的体积Vr3r2l84，因为R3，所以R.所以该球的直径为2R5，故选C.3答案：D解析：V球r3，r2，三棱柱的高为4，设底面边长为a，则a2，a4，V三棱柱(4)2448，故选D.4答案：D解析：ACB30，AC2AB2，ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆半径r则三棱锥外接球即为以ABC为底面，以SA为高的三棱柱的外接球，三棱锥外接球的半径R满足R，故三棱锥外接球的体积VR3.故选D.5
7、答案：C解析：边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的BDC，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1,1，所以2R，该球的表面积为S425，故选C.6答案：D解析：设球的半径为R，则4R216，解得R2.设圆锥的高为h，因为圆锥的底面圆周和顶点都在球面上，所以2212(h2)2，解得h2或h2，所以圆锥的体积V12(2)或V12(2)，故选D.7答案：A解析：将该四面体补成正方体，则四面体的棱为正方体的面上的对角线因为四面体的各棱长均为4，所以正方体的棱长为2，又球O与四面体的各棱都相切，
8、所以球O的直径为正方体的棱长，则球O的半径为，则其表面积S428.故选A.8答案：B解析：在ABC中，由余弦定理得BC6，又BC2CD2BD2，BCD为直角三角形，且BD为斜边，BCD外接圆的圆心在BD的中点处，平面ABC平面BCD，几何体的外接球的球心到平面ABC的距离为CD4，设ABC的外接圆半径为r，则2r4，r2，设几何体的外接球半径为R，则R242(2)228，该几何体外接球的表面积S4R2112，故选B.9答案：C解析：设球O的半径为R，ABC的外接圆半径为r，则4R2100，R5.在ABC中，2r，r4，球心O到平面ABC的距离d3，由余弦定理得AB2BC2AC22BCACcos
9、ACB，则48BCACBC2AC22BCAC，解得BCAC48，当且仅当BCAC4时取等号，SABCBCACsinACBBCAC12，当且仅当BCAC4时取等号，三棱锥O ABC体积的最大值为12312，故选C.10答案：AD解析：因为AB是球O的一条直径，所以ACBC，ADBD，所以AB2.球的半径为，球O的表面积为4()220，A对；因为AD与平面ABC相交，所以AC上找不到一点M，使得ADBM，B错；若AD3，则BD，C错；因为D到平面ABC的距离的最大值为球的半径，所以四面体ABCD体积的最大值为24.D对，故选AD.11答案：BC解析：如图，在四棱锥P ABCD中：侧面PCD平面AB
10、CD，交线为CD，底面ABCD为矩形，BCCD，则BC平面PCD，过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以A错误；连接AC交BD于O，连接MO，在PAC中，OMPA，MO平面MBD，PA平面MBD，所以PA平面MBD，所以B正确；四棱锥M ABCD的体积是四棱锥P ABCD的体积的一半，取CD中点N，连接PN，PNCD，则PN平面ABCD，PN3，四棱锥M ABCD的体积VM ABCD22312，所以D错误；在PCD中求得：NMPC，在RtMNO中MO3，即OMOAOBOCOD，所以O为四棱锥M ABCD外接球的球心，半径为3，所以其体积为36，故C正确，故选BC.12答案：BD解析：VD A
11、BCSABCh，当平面ADC平面ABC时，三棱锥D ABC的高最大，此时体积最大值为VD ABC1，A错误；设AC的中点为O，则由RtABC，RtADC知，OAOBOCOD，所以O为三棱锥D ABC外接球的球心，其半径为AC1，所以外接球体积为，即三棱锥D ABC的外接球体积不变，B正确；由的解析过程知，三棱锥D ABC的体积最大值时，平面ADC平面ABC，所以二面角D AC B的大小是90，C错误；当ADC沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离为，即BD时，在三角形BCD中，BC2BD2CD2，所以CDBD，又CDAD，翻折后此垂直关系没有变，所以CD平面ABD，所以CDAB，即异面直线A
12、B与CD所成角的最大值为90，D正确故选BD.13答案：3解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面ABC及其内切圆O1和外接圆O2，且两圆同圆心，即ABC的内心与外心重合，易得ABC为正三角形，由题意知O1的半径为r1，ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，V333.14答案：解析：画出圆柱的轴截面ABCD，如图，O为球心，则球半径ROA1，球心到底面圆的距离为OM，所以底面圆半径r，故圆柱体积V21.15答案：500解析：由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为l2R10，即球的半径R5，该球的体积VR3500.16答案：解析：由题意可设与正三棱锥铁盒的内切球的半径为r，则利用等体积法可得2232r，得r.设小正方体的棱长的最大值为x，则2x，得x，所以小正方体的表面积的最大值为62.