1、第六章 圆第二节与圆有关的位置关系考 点 帮易错自纠易错点1不能根据“遇切线,连半径,见垂直”快速作出辅助线1.2019江苏无锡如图,PA是O的切线,切点为A,PO的延长线交O于点B,若P=40,则B的度数为(B)A.20B.25C.40D.50易错点2混淆相交、相切、相离的概念2.在RtABC中,C=90,AC=6cm,BC=8cm,以点C为圆心、5cm长为半径作圆,则此圆和斜边AB的位置关系是(A)A.相交B.相切C.相离D.相交或相切易错点3不能熟练掌握等边三角形外接圆与内切圆的性质3.如图,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是(C
2、)A.h=R+rB.R=2rC.r=34aD.R=33a方 法 帮提分特训1.2020山东枣庄如图,AB是O的直径,PA切O于点A,线段PO交O于点C.连接BC,若P=36,则B=27.(第1题)(第2题)2.2020合肥包河区一模如图,在等边三角形ABC中,CD为AB边上的高,O与边AC,BC相切.若AB=43,OD=1,则O的半径是52.3.2020青海如图,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,则ABC的内切圆半径r=1.4.2020安庆模拟如图,O为ABC的外接圆,直线MN与O相切于点C,弦BDMN,AC与BD相交于点E.(1)求证:CAB=CBD;(2)若BC=5,BD=8,求O
3、的半径.(1)证明:如图,连接OC,交BD于点F.直线MN与O相切于点C,OCMN.又BDMN,OCBD,BC=CD,CAB=CBD.(2)解:如图,连接OB.由(1)知OCBD,BF=DF=12BD=4.在RtBCF中,BC=5,BF=4,CF=BC2-BF2=3.设O的半径为r,则OF=r-3.在RtBOF中,根据勾股定理,得OF2+BF2=OB2,即 (r-3)2+42=r2,解得r=256,故O的半径为256.真 题 帮考法与圆有关的位置关系(10年4考)1.2018安徽,12如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则DOE=60.2.2020安徽,
4、20如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:CBADAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分DAB.(1)证明:因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90.在RtCBA与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以RtCBARtDAB.(2)证明:方法一:因为BE=BF,BCEF,所以BC平分EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是,DAC=DBC=CBE=90-E=CAB,故AC平分DAB.方法二:因为BE=BF,所以E=BFE.因为AB为半圆
5、O的直径,BE为切线,所以BEAB.于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD,故AC平分DAB.作 业 帮基础分点练(建议用时:60分钟)考点1点与圆、直线与圆的位置关系1.2019芜湖模拟在公园的O处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心、OA的长为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中需要被移除的为(A)A.E,F,GB.F,G,HC.G,H,ED.H,E,F2.2020广东广州如图,在RtABC中,C=90,AB=5,cosA=45,以点B为圆心,r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是(
6、B)A.相离B.相切C.相交D.无法确定考点2切线的性质与判定3.2020广西桂林如图,AB是O的弦,AC与O相切于点A,连接OA,OB,若O=130,则BAC的度数是(B)A.60B.65C.70D.75(第3题)(第4题)4.2020黑龙江哈尔滨如图,AB为O的切线,点A为切点,OB交O于点C,点D在O上,连接AD,CD,OA,若ADC=35,则ABO的度数为(B)A.25B.20C.30D.355.2019合肥庐阳区模拟如图,PA是O的切线,点A为切点,PO与O相交于点B.若点B为OP的中点,过点A作ACOB,则PAC+POC=(B)A.250B.270C.275D.300(第5题)(第
7、6题)6.2020浙江温州如图,菱形OABC的顶点A,B,C在O上,过点B作O的切线交OA的延长线于点D.若O的半径为1,则BD的长为(D)A.1B.2C.2D.37.2020江苏南京如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,P与x轴、y轴都相切,且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是(A)A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)(第7题)(第8题)8.2020山东泰安如图,PA是O的切线,点A为切点,OP交O于点B,P=10,点C在O上,OCAB,则BAC等于(B)A.20B.25C.30D.509.2020湖
8、南湘西州如图,PA,PB为O的切线,切点分别为点A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交O于点D.下列结论不一定成立的是(B)A.BPA为等腰三角形 B.AB与PD互相垂直平分 C.点A,B都在以PO为直径的圆上 D.PC为BPA的边AB上的中线(第9题)(第10题)10.2020浙江杭州如图,已知AB是O的直径,BC与O相切于点B,连接AC,OC.若sinBAC=13,则tanBOC=22.11.2020江苏泰州如图,直线ab,垂足为点H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的O与直线a相切,则OP的长为3cm或5cm.(第11题)(第12题)12.2020浙江
9、宁波如图,O的半径OA=2,B是O上的动点(不与点A重合),过点B作O的切线BC,BC=OA,连接OC,AC.当OAC是直角三角形时,其斜边长为22或23.13.2020合肥45中一模如图,D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且CDA=CBD.(1)求证:CD是O的切线;(2)若CBD=30,BC=3,求O的半径.(1)证明:如图,连接OD.AB是O的直径,ADB=90,DAO+CBD=90.OA=OD,DAO=ODA.又CDA=CBD,CDO=CDA+ADO=CBD+DAO=90,即ODCD,CD是O的切线.(2)解:由(1)可知COD是直角三角形.CBD=30,COD=2CBD=60,
10、OC=2OD=2OA,AC=OA=OB=13BC=133=1,O的半径为1.14.2020湖北武汉如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径的O交AC于点D,AE与过点D的切线互相垂直,垂足为点E.(1)求证:AD平分BAE;(2)若CD=DE,求sinBAC的值.(1)证明:如图,连接OD,OA=OD,OAD=ODA.DE是O的切线,ODDE.又AEDE,AED+EDO=180,AEOD,EAD=ODA,EAD=OAD,AD平分BAE.(2)解:如图,连接BD.设CD=a,BC=b.AB为O的直径,AEDE,BDC=E=90.DCB+CBD=90,CAB+DCB=90,CBD=CAB.
11、由(1)知EAD=CAB,CBD=EAD.又CD=DE,CDBDEA,AD=BC=b,AC=a+b.CDB=CBA=90,DCB=BCA,CDBCBA,CBCA=CDCB,CB2=CDCA,即b2=a(a+b),a2+ab-b2=0,(ab)2+ab-1=0.令ab=m,则m2+m-1=0,解得m=-1+52或m=-1-52(不合题意,舍去),ab=-1+52,sinBAC=sinCBD=ab=5-12.15.2020湖北荆门如图,AC为O的直径,AP为O的切线,M是AP上一点,过点M的直线与O交于点B,D,与AC交于点E,连接AB,AD,AB=BE.(1)求证:AB=BM;(2)若AB=3,
12、AD=245,求O的半径.(1)证明:如图(1).AP为O的切线,AC为O的直径,APAC,3+4=90,1+2=90.AB=BE,2=3,1=4,AB=BM.图(1)(2)方法一:如图(1),连接BC.AC为直径,ABC=90,C+3=90.又3+4=90,C=4.又1=4,C=D,1=C=D,AM=AD=245.AB=3,AB=BM=BE,EM=6,AE=EM2-AM2=62-(245)2=185.1=C,EAM=ABC=90,MAECBA,MECA=AEAB,6CA=1853,CA=5,O的半径为2.5.方法二:如图(2),连接CD.图(2)AB=BE,2=3.又2=DEC,3=EDC,
13、DEC=EDC,DC=EC.AC为直径,ADC=90,ADE+EDC=90,又3+4=90,EDC=3,ADE=4.又1=4,1=ADE,AM=AD=245.AB=3,AB=BM=BE,EM=6,AE=EM2-AM2=62-(245)2=185.设EC=x,则AC=AE+EC=185+x,DC=x.在RtADC中,AD2+DC2=AC2,(245)2+x2=(185+x)2,解得x=75,AC=185+75=5,O的半径为2.5.考点3三角形的外接圆与内切圆16.2020浙江金华如图,O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF上一点,则EPF的度数是(B)A.
14、65B.60C.58D.50(第16题)(第17题)17.2019湖北荆门如图,ABC的内心为I,连接AI并延长交ABC的外接圆于点D,连接BD,则线段DI与DB的关系是(A)A.DI=DBB.DIDBC.DIDBD.不确定考点4正多边形与圆的关系18.2020四川德阳半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是(A)A.abcB.bacC.acbD.cba19.2020四川凉山州如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O,则ADAB=(B)A.223B.23C.32D.32320.2020黑龙江绥化如图,正五边形ABCDE内接于O,点P为
15、DE上一点(点P与点D,E不重合),连接PC,PD,DGPC,垂足为点G,PDG等于54度.全国视野创新练1.新角度2020山东滨州如图,O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与O相交于点M,则sinMFG的值为55.2.新设问2020上海在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点O在对角线AC上,O的半径为2,如果O与矩形ABCD的各边都没有公共点,那么线段AO长的取值范围是103AO245,C与AB相交.故选A.3.C如图所示,标记各点,AO为R,OB为r,AB为h,等边三角形的外心和内心为同一点,故点A,O,B共线,AB=AO+OB,即h=R+r,故选项A中的结论正确.
16、三角形为等边三角形,CAO=30,根据垂径定理可知ACO=90,AO=2OC,即R=2r,故选项B中的结论正确.在RtACO中,利用勾股定理,可得AO2=AC2+OC2,即R2=(12a)2+r2,由B中关系可得:(2r)2=(12a)2+r2,解得r=36a,则R=33a,所以故选项C中的结论错误,选项D中的结论正确.故选C.提分特训1.27PA切O于点A,OAP=90.P=36,AOP=54.又OB=OC,B=OCB=12AOP=27.2.52如图,设O与BC相切于点M,连接OM,则OMBC.ABC是等边三角形,CD是AB边上的高,DCB=30.在RtBCD中,CD=BCsinB=4332
17、=6,OC=CD-OD=5.在RtOMC中,OM=OCsinOCM=5sin30=52.3.1在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,根据勾股定理,得AB=5.如图,设ABC的内切圆与三条边的切点分别为点D,E,F,连接OD,OE,OF,则ODAB,OEBC,OFAC,可得四边形EOFC为矩形.根据切线长定理,得CE=CF,矩形EOFC是正方形,CE=CF=r,AD=AF=AC-FC=3-r,BD=BE=BC-CE=4-r.AD+BD=AB,3-r+4-r=5,解得r=1.4.略1.60连接OA.AB,AC分别与O相切于点D,E,ODAB,OEAC.点D是AB的中点,OA=OB.四边形ABO
18、C是菱形,AB=BO,AB=BO=AO,ABO是等边三角形,B=60,BAC=120,DOE=360-90-90-120=60.2.略基础分点练1.A设题图中小正方形的边长为x,则OA=5x,OE=OF=2x,OG=x,OH=22x,易知OGOE=OFOA,所以点E,F,G在圆O内,点H在圆O外,因此E,F,G三棵树需要被移除.2.B在RtABC中,C=90,AB=5,cosA=45,AC=ABcosA=4,BC=AB2-AC2=3=r.以点B为圆心、BC长为半径作圆.ACBC,AC与B相切.3.BAC与O相切于点A,ACOA,OAC=90.OA=OB,O=130,OAB=OBA=180-13
19、02=25,BAC=OAC-OAB=90-25=65.故选B.4.BADC=35,O=2ADC=70.AB是O的切线,OAB=90,ABO=90-O=20.5.B如图,连接OA,AB.PA是O的切线,点A为切点,OAPA,AOP是直角三角形.点B为OP的中点,AB=OB.又OA=OB,ABO是等边三角形,AOB=60.ACOB,OAC=AOB=60.又OA=OC,AOC是等边三角形,AOC=60,PAC+POC=PAO+OAC+AOB+AOC=90+60+60+60=270.6.D连接OB,则OA=OB.四边形OABC是菱形,OA=AB,OA=OB=AB,OAB是等边三角形,BOD=60.BD
20、是O的切线,OBBD.在RtOBD中,BD=OBtan60=3OB=3.故选D.7.A如图,设P与y轴的切点为E,与x轴的切点为G,连接PE,PG,则PEy轴,PGx轴.易知四边形OGPE是正方形,OE=OG=EP=5.延长EP交BC于点F,连接PC,PD,则PFBC,FD=CF.易知四边形AEFC,PFBG是矩形,FD=CF=AE=OA-OE=8-5=3,BD=BC-CF-FD=2,GB=PF=52-32=4,OB=5+4=9,D(9,2).8.B如图,连接OA,PA是O的切线,OAAP,PAO=90,AOP=90-P=80.OA=OB,OAB=OBA=12(180-80)=50.OCAB,
21、BOC=OBA=50.由圆周角定理,得BAC=12BOC=25,故选B.9.BPA,PB为O的切线,PA=PB,BPA是等腰三角形,故A选项中的结论成立.由圆的对称性可知,PD垂直平分AB,但AB不一定平分PD,故B选项中的结论不一定成立.如图,连接OB,OA,PA,PB为O的切线,OBP=OAP=90,点A,B在以OP为直径的圆上,故C选项中的结论成立.BPA是等腰三角形,PDAB,PC为BPA的边AB上的中线,故D选项中的结论成立.故选B.10.22BC与O相切于点B,则ABC=90.设BC=m,在RtABC中,由sinBAC=13,可知AC=3m,故AB=AC2-BC2=22m,则OB=
22、12AB=2m.在RtBOC中,tanBOC=BCOB=m2m=22.11.3cm或5cm直线ab,O为直线b上一动点,O与直线a相切时,切点为H,OH=1cm.分两种情况讨论.当点O在点H左侧,O与直线a相切时,如图(1),OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H右侧,O与直线a相切时,如图(2),OP=PH+OH=4+1=5(cm).综上可知,OP的长为3cm或5cm.图(1)图(2)12.22或23如图,连接OB.BC是O的切线,OB是O的半径,OBBC,即BOC是直角三角形.又BC=OA=OB=2,OC=22.当OAC=90时,AOC是直角三角形,斜边OC=22;当AOC=9
23、0时,AOC是直角三角形,故斜边AC=OA2+OC2=22+(22)2=23.综上所述,当OAC是直角三角形时,其斜边长为22或23.1315.略16.B如图,连接OE,OF,则BEO=BFO=90.ABC是等边三角形,B=60.在四边形BEOF中,EOF=360-BEO-BFO-B=120,EPF=12EOF=60.17.A如图,连接BI,I是ABC的内心,BAD=DAC,ABI=CBI.又DAC=DBC,CBD=BAD.DBI=DBC+IBC,BID=BAD+IBA,DBI=BID,DB=DI.18.A圆的半径为R,则圆内接正三角形的边心距a=Rcos60=R2,圆内接正方形的边心距b=R
24、cos45=22R,圆内接正六边形的边心距c=Rcos30=32R,所以abc,故选A.19.B如图,连接OA,OB,OD,过点O作OHAB于点H,则AH=BH=12AB.等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O,AOB=120,AOD=90.又AO=BO,OHAB,AOH=BOH=12120=60.OA=OD,AOD是等腰直角三角形,AD=2OA.在RtAOH中,AH=OAsin60=32OA,AB=2AH=232OA=3OA,ADAB=2OA3OA=23.故选B.20.54如图,连接OC,OD.五边形ABCDE是正五边形,COD=3605=72,CPD=12COD=36.DGPC,PGD
25、=90,PDG=90-CPD=90-36=54.全国视野创新练1.55连接EG,O是正方形ABCD的内切圆,DG=12CD,EG=BC=2DG,DE=5DG.MFG=MEG,sinMFG=sinMEG=DGDE=55.2.103AO203根据勾股定理,可得AC=62+82=10.如图,当O与AD相切时,记点O为O1.设切点为E,连接O1E,则O1EAD.当O与BC相切时,记点O为O2,设切点为F,连接O2F,则O2FBC.分析可知,当点O在点O1,O2之间时(不与点O1,O2重合),O与矩形ABCD的各边都没有公共点.sinDAC=DCAC=O1EAO1,610=2AO1,AO1=103.同理可求CO2=103,AO2=203.故线段AO长的取值范围是103AO203.
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