1、理数周日测试6一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件可知A为偶数集，求出，即可得到.【详解】由条件可知A为偶数集，故.故选C【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.2.已知i是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据虚数单位i的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简【详解】故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式即可化简求值【详解】已知,则由三
2、角函数的诱导公式可得 .故选A.【点睛】本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，属于基础题4.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用已知条件求出a，b，即可求解椭圆方程【详解】设椭圆的焦距为，由条件可得，故，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得，即，所以，故，故该椭圆的方程为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.14159263.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小
3、学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】选择数字的方法有： 种，其中得到的数字不大于3.14的数字为： ，据此可得：得到的数字大于3.14的概率为 .本题选择A选项.点睛： 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，
4、用间接求法就显得较简便6.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）A. 8 B. 6 C. 5 D. 4【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】所给程序的运行过程如下：，；，；，；，不满足，输出b的值为4.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 6+6 D. 8+4【答案】C【解析】【分析】几三视图可知，该几何体是一个圆柱的，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入柱体的表面
5、积公式计算即可【详解】三视图可知，该几何体是一个圆柱的，故表面积为.故选C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键8.已知直线与之间的距离为2，则直线被圆截得的弦长为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】由条件可知，直线过圆心，则圆心C到直线的距离等于直线与之间的距离2，根据勾股定理可求直线被圆截得的弦长【详解】由条件可知，直线过圆心，则圆心C到直线的距离等于直线与之间的距离2，故直线被圆C截得的弦长为.故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交时的弦长问题，属于中档题9.
6、已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：且点，易得目标函数在点C处取得最大值5.故选B.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10.在边长为1的正中，点D在边BC上，点E是AC中点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，则，则由求出，即可得到.【详解】设，则，则故，即.【点睛】本题考查向量的线性运算及向
7、量的数量积的运算，属中档题.11.已知定义在R上的函数，满足，且时，图象如图所示，则满足的实数x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，可得，由可得，结合图像根据对称性可得实数x的取值范围.【详解】由条件可知，的图象关于直线对称，结合可得，而，即，解之得，由可得，当时，由，解之得，所以，再结合对称性可得x的取值范围是.故选B.【点睛】本题考查了基本初等函数的图象与性质、对数不等式等知识，属于中档题12.已知函数的最小正周期为，且，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知：由最小正周期为2可得又代入可得：
8、，得，则 二、填空题13.在正方体中，点M是的中点，则与所成角的正切值为_.【答案】2【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得即为与所成角，在中计算即可.【详解】即为与所成角，取中点N，连接，则，则.即答案为2.【点睛】本题考查异面直线所成角的定义及计算，属基础题.14.已知双曲线的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长为m，则_.【答案】6【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出a、b的关系，再求出过右焦点且垂直于x轴的直线被双曲线截得的弦长m，即可计算的值【详解】双曲线的焦距为，则，即，则把代入双曲线可得，故，所以，.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用问
9、题，是中档题15.已知函数，若，且的最小值为m，则_.【答案】3【解析】【分析】由题意，由可得，即，结合，且的最小值为m，即可求出的值【详解】由可得，即，则，当且仅当，即时，取得最小值2.故.即答案为3.【点睛】本题考查分段函数的运用，考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属中档题16.已知的三个内角所对的边分别为，且，则_.【答案】【解析】【分析】由及正弦定理可得，.由可得，由余弦定理可得，即，解之得.【详解】由及正弦定理可得，即，而，.由可得，由余弦定理可得，即，解之得（舍去负值）.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属中档题.三、解答题17.已知等比数列满足：，且.（1）
10、求的通项公式及前n项和；（2）若，求的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设的公比为q，由可得，由此可求的通项公式及前n项和；2）由（1）可得，则，利用错位相减法可求的前n项和.【详解】（1）设的公比为q，由可得，.（2）由（1）可得，则所以，由可得，所以，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和；以及利用错位相减法求和，属基础题.18.如图，三棱锥中，且.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点O，连接，.易证 平面，又平面，而O是的中点，.（2）由平面平面，平面，由条件可得，.则，则三棱锥的体积可求【详解】（1）
11、取的中点O，连接，.，平面，平面，又平面，而O是的中点，.（2）平面平面，平面，平面平面，平面，由条件可得，.则，三棱锥的体积为：.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属中档题.19.某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.（1）试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征；（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x，每小时点击次数为y，则点（x，y）近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y
12、关于x的回归直线.（附：回归方程系数公式：）【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）结合图象分别求出甲、乙公司的平均数和方差，根据其大小判断结论即可；（2）求出平均数，计算回归方程的系数，求出回归方程即可【详解】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，乙公司每小时点击次数为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.甲公司每小时点击次数的平均数为：，乙公司每小时点击次数的平均数为：.甲公司每小时点击次数的方差为：；乙公司每小时点击次数的方差为：，由计算已知，甲、乙公司每小时点击次数的均值相同，但是甲的方差较小，所以，甲公司每小时点击次数更加稳定.（
13、2）根据折线图可得数据如下：点击次数y24687点击价格x12345则，则，所求回归直线方程为：.【点睛】本题考查了均值和方程的求法，考查回归方程问题，是一道中档题20.如图，直线与y轴交于点A，与抛物线交于P，Q，点B与点A关于x轴对称，连接QB，BP并延长分别与x轴交于点M，N.（1）若，求抛物线C的方程；（2）若，求外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立可得，设点，由，可得，表示出.利用，可得，即可可得到抛物线方程；（2）设直线，的斜率分别为，点，由，可得.则直线的方程为：，直线的方程为：，由此可得，结合可得，且，故，即是等腰三角形，且，则的外接圆的圆心一定在y轴上
14、，设为，由圆心到点M，B的距离相等可解得，于是得到外接圆方程.【详解】（1）由可得，设点，则，即，故.由可得（舍去负值），抛物线C的方程为.（2）设直线，的斜率分别为，点，.直线的方程为：，直线的方程为：，则，则，由可得，且，故，即是等腰三角形，且，则的外接圆的圆心一定在y轴上，设为，由圆心到点M，B的距离相等可得，解之得，外接圆方程为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，考查圆的方程等知识，属难题.21.已知函数.（1）若的图像在处的切线与轴平行，求的极值；（2）若函数在内单调递增，求实数的取值范围【答案】（1）极大值，无极小值；（2）.【解析】试题分析：（1）求出
15、，由求得，研究函数的单调性，即可求得的极值；（2）化简，可得，对求实数分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，验证函数在内是否单调递增即可得结果. 试题解析：（1）因为，所以由条件可得，解之得，所以， 令可得或（舍去）当时，；当时，所以在内单调递增，在内单调递减，故有极大值，无极小值；（2），则 设，当时，当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减，不满足条件；当时，是开口向下的抛物线，方程有两个实根，设较大实根为当时，有，即，所以在内单调递减，故不符合条件；当时，由可得在内恒成立，故只需或，即或，解之得综上可知，实数的取值范围是22.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
16、的极坐标方程为，直线l的参数方程为（其中t为参数）.（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为42-32cos2=4，由此能求出曲线C的普通方程（2）把代入，得5x2-8mx+4m2-4=0，由直线l与曲线C有两个公共点，能求出实数m的取值范围【详解】（1）方程可化为，即，把代入可得，整理可得.（2）把代入可得，由条件可得，解之得，即实数m的取值范围是.【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查根据的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
17、想，是基础题23.已知函数.（1）关于x的不等式的解集为M，且，求实数m的取值范围；（2）求的最小值，及对应的x的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分当时和当时两种情况解不等式，得到解集M，由，可得可解得实数m的取值范围；（2）利用三角不等式可得，可得的最小值，及对应的x的取值范围.【详解】（1）当时，不等式可变为，解之得，；当时，不等式可变为，解之得，x不存在.综上可知，不等式的解集为.由，可得，解之得，即实数m的取值范围是.（2），当且仅当，即时，取得最小值1，此时，实数x的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，三角不等式等知识，属中档题.24.已知函数.（）求
18、函数在点处的切线方程；（）当函数处取得极值-2，求函数的解析式；（）当时，设，若函数在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到切线方程；（2）求得g（x）的导数，由题意可得g（2）=-2，g（2）=0，解方程即可得到所求解析式；（3）若函数h（x）在定义域上存在单调减区间依题存在x0使()h（x）0（x0）即存在x0使x2-bx+10，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围【详解】()由()，可得()，在点处的切线方程是，即，所求切线方程为.()又可得，且在处取得极值.可得解得，.所求（）.()，().依题存在使，即存在使，不等式等价于(*)令（），.在上递减，在上递增，故，存在，不等式(*)成立，所求.【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用以及存在性问题，属于中档题