1、第三节柯西不等式三年1考高考指数:1.了解柯西不等式下列几种不同形式，理解它们的几何意义并会证明.(1)柯西不等式的向量形式：(2)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2(3)(通常称作三角不等式)2.用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：3.会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值.1.利用柯西不等式证明不等式、求特定代数式的最值，以及解决一些实际问题的优化设计等是本节考查的重点.2.常与函数、不等式、数列、向量等知识进行综合考查，是本节的难点、重点.3.选择题、填空题、解答题三种题型均会涉及，是高考的新热点之一.柯西不等式(1)代数形式若a,b,c,d都
2、是实数,则(a2+b2)(c2+d2)_,当且仅当_时,等号成立.(2)向量形式设,是两个向量,则 _,当且仅当_，或_时,等号成立.ad=bc(ac+bd)2(3)三角形式设x1,y1,x2,y2,x3,y3R,那么(4)一般情形设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则 _,当且仅当_或_时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3+anbn)2bi=0(i=1,2,3,n)存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,n)【即时应用】(1)在柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？提示:不可以.当bd0时，柯西不等式成立，但不成立.(2)已知x,y,z均为正数且
3、x+y+z=1.若，则：x=_,y=_,z=_.【解析】43当且仅当,即x=y=z=时,上式取到等号.由已知x=y=z=.答案:(3)设a，bR，若a2b25，则a2b的最大值为_，最小值为_.【解析】由柯西不等式知(a2b2)(1222)(a2b)2，(a2b)25525，5a2b5.即a2b的最大值为5，最小值为-5.答案:5 -5利用柯西不等式证明不等式【方法点睛】应用柯西不等式应注意的问题(1)柯西不等式的一般结构为,在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题.(2)使用柯西不等式时，既要注意它的数学意义，又要注意它的外在形式，当一个式子与柯西
4、不等式的左侧或右侧具有一致形式时，就可以考虑使用柯西不等式对这个式子进行放大或缩小.【例1】(2012泉州模拟)设a,b,c为正数且a+b+c=1.求证:【解题指南】将待证不等式的左边，构造成的形式，利用柯西不等式证明.【规范解答】=.当且仅当a=b=c=时取等号,原不等式成立.利用柯西不等式求最值【方法点睛】利用柯西不等式求最值应注意的问题在利用柯西不等式求最值时，要注意将结构式与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，结合已知条件，构造“积和方”或“方和积”，利用柯西不等式求最值时，一般右边为常数，且应注意等号成立的条件【例2】(2012南平模拟)已知x,y,z为正实数，且=1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.【解题指南】因为=1,所以可以构造x+4y+9z=,然后利用柯西不等式求解.【规范解答】由柯西不等式得x+4y+9z=当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2.所以当x=6,y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.【反思感悟】1.解答本题时，关键是利用=1构造能利用柯西不等式的“方和积”.2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：
