1、第二节参数方程三年21考高考指数:1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.参数方程和普通方程的互化，直线、圆和椭圆的参数方程的应用是考查的重点.2.会利用直线、圆、椭圆参数方程，解决有关的最值问题,这是难点.3.高考题以解答题的形式考查.1.参数方程的概念及与普通方程的互化(1)参数方程的概念一般地，在取定的平面直角坐标系xOy中，如果一条曲线L上_的坐标(x,y)的每个分量都是某个变量t的函数，即，而且对于t的_,由方程组确定的点(x,y)在L上，则称方程组是曲线L的参数方程，联系x,y之间关系的中介变量t称为参数方程的参变量，简称_.任意一点
2、每个允许值参数(2)参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程是曲线的两种不同的表达方式，一般地，可通过消去参数而从参数方程得到普通方程，常用代入、加减等消元方法.熟悉一些常见恒等式，往往能从整体上把握，简化消元过程，如：sin2+cos2=1,等.如果知道x，y中的一个与参数t的关系，如x=f(t)，把其代入普通方程，求出另一个与参数t的关系y=g(t)，则就是曲线的参数方程.【即时应用】(1)曲线(t为参数)的焦点坐标为_；(2)曲线(t为参数)的普通方程为_.【解析】(1)消去参数t，得到曲线的普通方程为x2=4y,故焦点F(0，1).(2)求平方差，消去参数t，得到x2-y2=(2t-
3、2-t)2-(2t+2-t)2=-4，即y2-x2=4(y2).答案：(1)(0，1)(2)y2-x2=4(y2)2.直线的参数方程过xOy平面上定点M0(x0,y0)，与x轴正向夹角为的直线L的参数方程为_.其中参数t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离.0,)，t(-,+)，t是参数【即时应用】(1)直线(t为参数)的倾斜角为_.(2)当参数t=-2时，直线上的点M与点A(2，-3)之间的距离为_.【解析】(1)将直线的参数方程化为标准形式为故倾斜角=120.(2)由直线的参数方程的几何意义，得|AM|=|t|=2.答案:(1)120 (2)23.圆锥曲线的参数方程(1)圆的参数方程
4、以M0(x0,y0)为圆心，以r0为半径的圆的参数方程为_.()椭圆的参数方程椭圆=1(ab0)的参数方程为_.参数方程与普通方程的互化及应用【方法点睛】参数方程与普通方程互化的注意事项(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等(2)把曲线C的普通方程F(x，y)0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性(3)与圆、椭圆上的点有关的最值问题，常常运用圆、椭圆的参数方程转化为三角函数的性质问题解决.【例1】(2012福州模拟)已知圆的极坐标方程为2+4cos(+)-5=0
5、，(1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x,y)在该圆上，求x+的最大值和最小值.【解题指南】(1)利用公式及2=x2+y2将极坐标方程化为普通方程，转化为参数方程；(2)由圆的参数方程转化为三角函数求最大值和最小值.【规范解答】(1),即圆的参数方程为(为参数).(2)由(1)，得 的最大值为8，最小值为-4.【反思感悟】(1)圆与椭圆的参数方程与普通方程互化的依据是三角函数的基本关系式：sin2+cos2=1.(2)关于圆、椭圆上的点的最值问题，常常运用参数方程转化为三角函数的辅助角公式求解，即asin+bcos=其中tan=(a0),且角的终
6、边过点(a,b).利用参数方程求曲线交点问题【方法点睛】直线、圆、椭圆参数方程中参数的几何意义在直线的标准参数方程中，t的几何意义是表示直线上的点到定点的距离，在圆的参数方程中，表示圆心角，在椭圆的参数方程中，表示离心角，由此知识可直接计算直线与圆、椭圆等曲线的交点问题.【例2】已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为2cos21.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解题指南】利用直角坐标与极坐标之间的互化公式，求曲线C的普通方程；再由直线标准参数方程中参数的几何意义，求直线l被曲线C截得的弦长.【规范解答】(1)由曲线C：2cos22(cos2sin
7、2)1，化成普通方程为x2y21.(2)由得，用t代替2t得直线的标准参数方程(t为参数).把代入得，整理得t24t60.设其两根为t1，t2，则t1t24，t1t26.从而弦长为|t1t2|【反思感悟】有关直线的参数方程，根据t的几何意义，有以下结论设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB|tBtA|，线段AB的中点所对应的参数值等于极坐标方程和参数方程的综合问题【方法点睛】1.直线的参数方程中参数的几何意义设e表示直线向上的方向的单位向量,如图,=t e,当参数t0时,与e方向相同;当参数t0时,与e方向相反,因此,总有|=|t|,所以参数t为点M0(x0,y0)到
8、直线上点M(x,y)的有向线段的数量(即方向+长度),这就是参数t的几何意义.2.直线参数方程的常用公式:根据直线的参数方程中t的几何意义,有以下结论(1)设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则|AB|=|tB-tA|=(2)线段AB的中点所对应的参数值等于【例3】已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程是=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点M(-1，0),直线l与曲线C交于A、B两点.(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|,|MB|,求|MA|MB|的值.【解题指南】(1)将直线的参数方程
9、化为普通方程，再化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程利用公式化为直角坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算.【规范解答】(1)直线l:(t为参数)的直角坐标方程为x-y+1=0,所以极坐标方程为:曲线C:=,即(cos)2sin,所以曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)由于直线l与曲线交于、两点,将代入y=x2，得，设A、B两点对应的参数分别为t1,t2，由一元二次方程的根与系数的关系，得t1t2=2,|MA|MB|=|t1t2|=2.【反思感悟】利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，可以使问题简便，方法是：把l:(t为参数)代入圆锥曲线C:F(x,y)=0，消去x,y得到关于t的一元二次方程at2+bt+c=0(a0)，其中=b2-4ac.当0时，l与C无交点;当=0时，l与C有一公共点;当0时，l与C有两个公共点；此时方程at2+bt+c=0有两个不同的实根t1、t2，把参数t1、t2代入l的参数方程,即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标.
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