1、第三节变换的不变量与矩阵的特征向量三年1考高考指数:1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义.2.会求22矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).3.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单的表示，并能用它来解决问题.1.求22矩阵的特征值、特征向量，利用矩阵的特征值、特征向量求An，是高考热点.2.以解答题形式出现，属中档题.1.矩阵的特征值、特征向量的相关概念非零向量被变换A变到自己的倍向量_,称0为A的特征值，称为A的属于特征值0的特征向量，非零倍向量_也是属于同一个特征值0的特征向量.【即时应用】(1)属于特征值0的特征向量是否唯一？提示：不唯一，若是
2、矩阵A的属于特征值0的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k 也是矩阵A的属于特征值0的特征向量,所以不唯一.(2)属于特征值0的特征向量间是什么关系？提示：属于特征值0的特征向量有无数个，它们是共线向量.2.矩阵的特征矩阵及特征多项式矩阵特征矩阵特征多项式_2-(a+d)+(ad-bc)【即时应用】已知矩阵M，则矩阵M的特征值为_.【解析】矩阵M的特征多项式为f()232，令f()0，解得11，22.答案：1,23.矩阵An的计算(1)矩阵A的特征值为1,2,其对应的特征向量分别是X1,X2,则，设出矩阵An后列方程组求An.(2)若任意向量X=t1X1+t2X2,则An(t1X1+t2X2
3、)=【即时应用】矩阵M=有特征向量对向量=计算M4为_.【解析】由特征多项式f()=2-3+2,令f()=0,得1=2,2=1，特征矩阵为以它为系数矩阵的方程组是，可知与特征值2,1对应的一个特征向量分别为1,2，从而设=m1+n2得，解得，即=1+22,从而答案：22矩阵的特征值与特征向量的求法【方法点睛】求二阶矩阵的特征值与特征向量的步骤第一步：求特征矩阵，由矩阵A=得到特征矩阵第二步：求特征多项式2-(a+d)+(ad-bc).第三步：求特征多项式的根，即解2-(a+d)+(ad-bc)=0.第四步：求特征向量.将特征值代入特征矩阵，解以它为系数矩阵的二元一次方程组，得非零解对应的向量即
4、为特征向量.【例1】已知矩阵A=，其中aR，若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P(0，-3).(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量.【解题指南】本题条件中矩阵A尚未确定，首先根据条件，利用待定系数法得实数a的值,再根据特征多项式求矩阵A的特征值及特征向量.【规范解答】(1)由得a+1=-3，a=-4.(2)由(1)知A=,矩阵A的特征矩阵为，特征多项式为(-1)2-4，即2-2-3.解2-2-3=0，得矩阵A的特征值为-1或3.将=-1代入特征矩阵得，解方程组得y=2x，(x,y)=(t,2t)，t为任意实数，t0时为特征向量.同理可得当=3时，特征向量为【反思感悟】(1)
5、当特征多项式2-(a+d)+(ad-bc)=0无解时，矩阵无特征值.(2)特征向量不唯一，不为零，是共线向量.已知特征值，特征向量求二阶矩阵【方法点睛】已知特征值，特征向量求二阶矩阵的方法设出矩阵A，利用Ax0=0 x0，列出方程组，解方程组即可求出矩阵A.【例2】(2012龙岩模拟)已知矩阵A=,A的一个特征值=2，属于的一个特征向量是，求矩阵A与其逆矩阵.【解题指南】充分利用特征值，特征向量的定义及求解方法列出相应的关系式后求解.【规范解答】由得,解得=14-2(-1)=6，利用特征值，特征向量求An【方法点睛】1.利用特征值，特征向量求An的步骤第一步：求矩阵A的特征值1，2，其对应的特
6、征向量分别是x1,x2.第二步：设出An，由定义知第三步：列出方程组，解方程组得An.2.求Anx的方法(1)求出矩阵A的特征值1，2及其对应的特征向量x1,x2.(2)令x=t1x1+t2x2，列方程组求出t1,t2.(3)【例3】(2012厦门模拟)已知矩阵M=向量=(1)求矩阵M的特征值1，2和特征向量1和2；(2)求M6的值.【解题指南】矩阵M，向量已知，可先根据求特征值，特征向量的步骤求1,2及1，2，再求M6.【规范解答】(1)M=的特征多项式为(-7)(+3)-6(-4)，即2-4+3，解2-4+3=0，得矩阵的特征值为1=1，2=3，当1=1时，得相应的特征向量1=(t0)；当2=3时，得相应的特征向量2=(t0).(2)由(1)不妨令t=1，则1=，2=，令=m1+n2解得，解得m=3,n=1.因此【反思感悟】1.利用特征值，特征向量可以简化计算An，Anx的过程.2.要注意分清公式中字母的具体意义，防止代入错误.
