1、第六节互斥事件内容要求ABC互斥事件及其发生的概率高考指数:1.互斥事件及对立事件(1)互斥事件定 义不能_发生的两个事件称为互斥事件.推 广如果事件A1,A2,，An中的_，就说事件A1，A2，An彼此互斥.同时任何两个都是互斥事件必有一个发生【即时应用】(1)两个事件互斥是这两个事件对立的_条件.(2)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列两个事件是互斥事件但不是对立事件的是_(填序号).至少有1个白球，都是白球至少有1个白球，至少有1个红球恰有1个白球，恰有2个白球至少有1个白球，都是红球【解析】(1)互斥不一定对立，但对立一定互斥，故互斥是对立的必要不充分条件.(2)、中的两
2、个事件不互斥，当然也不对立；中的两个事件互斥，但不对立；中的两个事件不但互斥，而且对立.所以正确答案应为.答案：(1)必要不充分(2)2.互斥事件及对立事件的概率计算公式(1)互斥事件的概率加法公式记法设A，B为互斥事，若_发生，我们把这个事件记作A+B基本公式如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=_.推广公式如果事件A1，A2，An两两互斥，那P(A1+A2+An)=_.事件A，B至少有一个P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+P(An)1【即时应用】(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级
3、品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽验一只是正品(甲级)的概率为_.(2)若A、B为互斥事件，P(A)0.4，P(A+B)0.7，则P(B)_.(3)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为_.排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04【解析】(1)记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)1P(B)P(C)10.050.030.92.(2)A、B为互斥事件，P(A+B)P(A)P(B)，P(B)P(A+B)P(A)0.70.40.3.(3
4、)P=1-(0.1+0.16)=0.74答案：(1)0.92 (2)0.3 (3)0.74互斥事件与对立事件的判定【方法点睛】1.互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系；(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的；(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的2.从集合角度理解互斥和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.【例1】判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其
5、中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解题指南】应重点关注从3名男生和2名女生中任选2名同学的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系.【规范解答】(1)是互斥事件，不是对立事件.原因是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件.(2)不是互斥事件，从而也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种
6、结果.“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件，也不是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生.(4)是互斥事件，也是对立事件.原因是：“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以也是对立事件.【反思感悟】判断两事件的关系时，一是要考虑试验的前提条件；二是考虑事件间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析.对于较难作出判断关系的情况，也可列出全部结果，再进行分析.互斥事件、对
7、立事件的概率【方法点睛】求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.【提醒】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和.【例2】(1)在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0
8、.07，则小明在数学考试中取得80分及以上的概率为_.(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中 710环的概率如表所示：求该射击队员射击一次射中9环或10环的概率；至少命中8环的概率.命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12【解题指南】(1)小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“8089分”“90分及以上”的并事件；(2)该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率.【规范解答】(1)分别记小明的成绩
9、“在90分及以上”“在8089分”“在7079分”“在6069分”“60分以下”为事件B、C、D、E、F，这五个事件彼此互斥.所以小明的成绩在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69(2)记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥.记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加
10、法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.【反思感悟】互斥事件概率公式应用的条件必须明白事件A、B互斥的条件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【满分指导】互斥事件主观题的规范解答【典例】(14分)(2011陕西高考)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)1020 2030 3040 40504060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和
11、L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径【解题指南】(1)读懂所给表格，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；(2)根据频率的计算公式计算；(3)计算选择不同的路径，在允许的时间内赶到火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径【规范解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.3分(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调
12、查结果得频率为：6分所用时间(分钟)1020 2030 3040 40504060选择路径L1的频率0.10.2 0.30.20.2选择路径L2的频率00.10.40.40.1(3)用A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；用B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，P(A1)P(A2)，甲应选择路径L1；12分P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B2)P(B1)，乙应选择路径L2.14分【阅卷人点拨】
13、通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)思维受阻，不能将概率问题转化为频率来进行估计；(2)在解答第(3)问时，不能正确地把所求事件转化为几个互斥事件的和，导致计算错误.备考建议解决互斥事件的概率问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不判断事件是否彼此互斥，盲目套用概率加法公式导致错误；(2)事件较复杂时，不能用对立事件求其对立面来简化求解过程；(3)解决互斥与对立事件问题时，由于对事件的互斥与对立关系不清楚，不能正确判断互斥与对立事件的关系而致错.1.(2012常州模拟)抛掷一粒骰子，观察掷出的点数
14、，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点.已知P(A)=P(B)=则出现奇数点或2点的概率是_.【解析】由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件.P(A)=P(B)=根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率答案：2.(2011大纲版全国卷改编)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为_.【解析】设该车主购买乙种保险的概率为P，由题意知：P(1-0.5)=0.3.解得P=0.6.设所求概率为P1,则P1=1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.答
15、案：0.83.(2011湖南高考)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.降雨量70110 140160200220频率【解析】(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70110 140160200220频率(2)由已知可得故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y530)=P(X210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为
