1、第九节直线与圆锥曲线的位置关系三年7考高考指数:1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题；2.直线与圆锥曲线相交，求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、存在性问题等是高考的热点；3.以解答题的形式出现，多属于中、高档题目，重点考查学生分析问题、解决问题的能力.1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2+bx+c=0(或ay
2、2+by+c=0).(1)当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线_；=0直线与圆锥曲线_；0直线与圆锥曲线_.相交相切相离(2)当a=0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_.平行平行或重合【即时应用】(1)思考：直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件？提示：必要不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时，直线与圆锥曲线有一个公共点；当直线与圆锥曲线有一个公共点时，直线与圆锥曲线不一定相切，如与抛物线对称轴平行(或重合)的
3、直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交；与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=_.【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立，消去y得：(1+4m2)x2+8mx+3=0.又因为其=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0，解得：m2=.答案：(3)过点A(0，1)与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线共有_条.【解析】显然点A(0，1)在抛物线外，因此过该点可作抛物线的两条切线，它们与抛物线有一个公共点；过点A(0，1)作与抛物线对称轴平行的直线只有一条
4、，它与抛物线只有一个交点.因此过点A(0，1)与抛物线y2=2px(p0)只有一个公共点的直线共有3条.答案：32.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=_=_.【即时应用】(1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为，则k值为_.(2)过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线被椭圆所截得的弦长为_.【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立，消去y得：4x2-4(1-k)x+k2=0，所以x1+x2=1-k，x1x2=依题意得：即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2，解得：k=-4.(2)设直线与椭圆的
5、交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由椭圆方程得：a=3，b=1，所以因此，直线方程为：与椭圆联立，消去y得：则所以答案：(1)-4 (2)2直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用【方法点睛】1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题.2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法(1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解；(2)与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义.【提
6、醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.【例1】(1)(2012安庆模拟)已知直线y=x-1与椭圆相切，则椭圆的离心率为_.(2)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【解题指南】(1)直线与椭圆相切，实际上是直线方程与椭圆方程组成的方程组有唯一解，即判别式等于零，求出a,再求离心率;(2)直线与抛物线公共点的个数问题，即为直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数问题，可将两方程联立求解.【规范解答】(1)直线y=x-1与椭圆联立，消去y
7、得：(a+)x2-2x+4-4a=0，其判别式=(-2)2-4(a+)(4-4a)=16a(a-)=0,又因为a0,a=,椭圆的离心率答案：(2)由题意，得直线l的方程为y-1=k(x+2)，由得ky2-4y+4(2k+1)=0(*)()当k=0时，由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时，直线与抛物线只有一个公共点.()当k0时，方程(*)的判别式为=-16(2k2+k-1).由=0，即2k2+k-1=0，解得k=-1或k=,当k=-1或k=时，方程组有一个解，此时，直线与抛物线只有一个公共点.由0,得2k2+k-10，解得-1k，当-1k且k0时，方程组有两个解，此时，直线与抛物线有两个
8、公共点.由0，得2k2+k-10,解得k-1或k,当k-1或k时，方程组无解,此时直线与抛物线没有公共点.综上，当k=-1或k=0或k=时，直线与抛物线只有一个公共点；当-1k且k0时，直线与抛物线有两个公共点；当k-1或k时，直线与抛物线没有公共点.【反思感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系；2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后，要注意所得方程的二次项系数是否含有参数.若含参数，需按二次项系数是否为零进行讨论，只有二次项的系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数，进而说明直线与圆锥曲线的位置
9、关系.圆锥曲线中的存在性问题【方法点睛】1.解决存在性问题的方法及注意事项(1)方法：存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(2)注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论.2.存在性问题的解题步骤(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程或不等式(组).(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.【例2】(2012西安模拟)如图，椭圆C：的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，A1B1=,(1)求椭圆C的方程;(2)设n为过原点的直线,l是与n垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线,=1.是否存在上述直
10、线l使=0成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【解题指南】解答本题(1)由待定系数法求解.本题(2)为存在性问题,从假设存在入手,通过计算看其是否存在.【规范解答】(1)由A1B1=知a2+b2=7,由知a=2c,又b2=a2-c2,由,解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为(2)假设使=0成立的直线l存在，设A，B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且=1得即m2=k2+1,由=0得x1x2+y1y2=0.将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2-12)=0,由根与
11、系数的关系可得x1+x2=0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2,将代入上式并化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+m2(3+4k2)=0.将m2=1+k2代入并化简得-5(k2+1)=0，矛盾.即此时直线l不存在.当l垂直于x轴时,满足=1的直线l的方程为x=1或x=-1,则A，B两点的坐标为(1，)，(1，-)或(-1，)，(-1，-)，当x=1时，=(1，)(1，-)=-0;当x=-1时，=(-1,)(-1,-)=-0,此时直线l也不存在.综上可知,使=0成
12、立的直线l不存在.【反思感悟】探索性问题常见的题型有两类：一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性.通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律.二是只给出条件，要求解题者论证在此条件下，会不会出现某个结论.这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述.圆锥曲线中的最值问题【方法点睛】圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)求最值常见的解法有两种：几
13、何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决;代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值.【提醒】求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论.如直线斜率不存在的情况，二次式最高次项的系数的讨论等.【例3】(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l的距离的最小值.【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y)，依已知等式即可得出曲线C的方程.(2)可先设点P的坐标，求出切
14、线，然后利用点到直线的距离公式求出距离的解析式，求其最值即可.【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1),所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),=(x,-2).再由可知：即(-x,-4-2y)(x,-2)=0.所以曲线C的方程为y=x2-2.(2)设P(x0,y0)为曲线C：上一点，因为y=x,所以l的斜率为因此直线l的方程为y-y0=x0(x-x0)，即x0 x-2y+2y0-=0.则O点到l的距离又所以当且仅当x0=0时取等号，所以O点到l的距离的最小值为2.【反思感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程，采用的是直接法求轨迹方程，依据题设中的等式求解即可
15、；2.第(2)问是求点到直线的距离的最值，解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式，利用函数的单调性或求导数或利用基本不等式求得最值.【满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2,设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求的最小值【解题指南】(1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条件可求出关于k的解析式，利用基本不等式求最值.【规范解答】(1)设动点
16、P的坐标为(x,y)，由题意得-|x|=1.2分化简得y2=2x+2|x|,当x0时，y2=4x;当x0时，y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x0)和y=0(x0).5分(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k(x-1)由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.7分设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=2+,x1x2=1因为l1l2，所以l2的斜率为-设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.9分=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x
17、2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+)8+4=1611分故当且仅当k2=即k=1时，取最小值，即16.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有以下两点容易造成失分:(1)在第(1)问求轨迹方程时，点P到y轴的距离易写成x，从而结果出错；(2)不会转化为 从而思路受阻，解题不完整，造成失分.备考建议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)注意点到两坐标轴的距离，两点与坐标轴平行时的距离；(2)涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，如垂
18、直、中点等.1.(2011广东高考)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为()(A)抛物线(B)双曲线(C)椭圆(D)圆【解析】选A依题意得，C的圆心到点(0,3)的距离与它到直线y=-1的距离相等，则C的圆心轨迹为抛物线.2(2011浙江高考)已知椭圆C1：(ab0)与双曲线C2:有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()(A)(B)a2=13(C)(D)b2=2【解析】选C.方法一：由双曲线 知渐近线方程为y=2x，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2(b2+5)
19、b2，联立直线y=2x与椭圆方程消y得，又C1将线段AB三等分，解之得b2=,a2=b2+5=.方法二：由双曲线 知渐近线方程为y=2x,设渐近线y=2x与椭圆C1:(ab0)的交点分别为C(x1,2x1),D(x2,2x2),则又由C(x1,2x1)在C1:上,所以有 又由椭圆C1:(ab0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点可得a2-b2=5由解得b2=,a2=,故选C.3.(2012长沙模拟)已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是()【解析】选C.通过直线斜率等于m,在y轴上的截距为n，从直线中可判断m，n的正负，从而确定nx2
20、+my2=mn为椭圆还是双曲线,选项C中，从直线可以看出m0,n0，而nx2+my2=mn可化为 即焦点在x轴上的双曲线.4.(2012南昌模拟)已知直线l:y=-+m与曲线C：仅有三个交点，则m的取值范围是()(A)(B)(0,-1)(C)(0,)(D)(1,)【解析】选D.曲线C:4y2=|4-x2|,即如图所示，直线l与双曲线的渐近线y=-x平行，当l过点B、C，即m=1时，直线l与曲线C有两个交点，把直线l再向上平移，满足题意，当直线l与椭圆 相切时，则不满足题意，即x2+4(x2-mx+m2)=4,x2-2mx+2m2-2=0,=4m2-8m2+8=0,m=或m=-(舍去),故1m .
