1、第八节双曲线内容要求ABC中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质三年1考高考指数:1.双曲线的相关概念(1)双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线在平面内；动点到两定点的距离_为一定值；这一定值一定要_两定点的距离.(2)焦点：两个_称为双曲线的焦点.(3)焦距：_间的距离.之差的绝对值小于定点两焦点【即时应用】判断下列点的轨迹是否为双曲线.(请在括号内填写“是”或“否”)(1)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于2的点的轨迹；()(2)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于3的点的轨迹；()(3)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于
2、4的点的轨迹；()(4)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于4的点的轨迹；()(5)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差等于6的点的轨迹；()(6)平面内到点A(0,2)，B(0,-2)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹.()【解析】由双曲线的定义可知：(1)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支；(2)点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为3的双曲线；(3)点的轨迹是以B为端点方向向下的一条射线;(4)点的轨迹是分别以A、B为端点方向向上、下的两条射线；(5)距离之差大于|AB|，所以点的轨迹不存在；(6)距离之差的绝对值大于|AB|，所以点的轨迹不存在
3、.答案：(1)否(2)是(3)否(4)否(5)否(6)否2.双曲线的标准方程和几何性质对称性图形标准方程范围顶点性质渐近线（a0,b0）（a0，b0）x a或x -ay -a 或ya对称轴：坐标轴顶点坐标：A1(-a，0),A2(a，0)顶点坐标:A1(0，-a)，A2（0，a）对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点xyoF2F1B1B2A2A1yxoF1F2A2A1B2B1标准方程离心率性质实虚轴（a0,b0）（a0，b0）线段A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的半实轴长,b 叫做双曲线的半虚轴长
4、3.等轴双曲线_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为(0),离心率e=,渐近线方程为y=x.实轴和虚轴【即时应用】(1)思考：双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的关系?提示:因为离心率所以，离心率越大，就趋近于+，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的区域)就越大，即双曲线的“张口”就越大；离心率越小即接近1，就趋近于0，即两条渐近线所形成的角(双曲线所在的区域)就越小，即双曲线的“张口”就越小.(2)已知曲线2x2-y2-6=0上一点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_.【解析】曲线2x2-y2-6=0的方程可化为：所以a2=3，又因为点P到一个焦点的距离为4，所以
5、到另一焦点的距离为答案：(3)已知双曲线(a0,b0)的虚轴长为2，焦距为则双曲线的渐近线方程为_.【解析】依题意知：2b=2，所以b=1，因此，双曲线的渐近线方程为：答案：y=(4)已知双曲线为等轴双曲线,中心在原点,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线的方程为_.【解析】由题意，设双曲线方程为x2-y2=a2(a0)，则c=a，渐近线y=x，双曲线的方程为x2-y2=2.答案：x2-y2=2双曲线的定义、标准方程【方法点睛】1.双曲线定义的应用利用双曲线的定义解题时，一方面要注意常数2a0,其中|F1F2|=2c=3k，若圆锥曲线C为椭圆，则|PF1|+|PF2|=2a=6k，a=3k，
6、若圆锥曲线C为双曲线，则|PF1|-|PF2|=2a=2k,a=k,e的取值为答案：(2)椭圆的焦点坐标为(4，0),(-4,0)，故c=4,且满足=2，故a=2,b=所以双曲线的渐近线方程为答案：(4,0),(-4,0)y=x【反思感悟】1.第一小题首先是讨论曲线的类型，然后再根据相应曲线的定义，求出离心率的值.2.第二小题解题的关键是求出a,b,c的值，然后求解.与双曲线有关的综合问题【方法点睛】1.直线与双曲线的位置关系判断直线l与双曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+D=0(A、B不同时为0)代入双曲线C的方程F(x,y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或
7、变量y)的一元方程.即消去y后得ax2+bx+c=0.直线与双曲线方程特征交点个数位置关系a=0a0 0a0 =0a0 0,b0)和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_.【解题指南】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出a，b，然后写出双曲线的方程.【规范解答】由题意知双曲线的焦点为(-，0)、(，0)，即c=，又因为双曲线的离心率为，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示解答本题时有以下几个误区：(1)双曲线标准方程中a、b的
8、值均大于零，但两者之间没有大小关系，易与椭圆中ab0混淆；(2)将椭圆与双曲线中的a、b、c之间的关系弄混.备考建议解决与双曲线有关的问题时，要注意以下几点：(1)根据题设条件，合理选择双曲线的标准方程的形式(注意焦点的位置)；(2)弄清双曲线中a、b、c之间的关系，最大者为c，即c2=a2+b21.(2011安徽高考改编)双曲线2x2-y2=8的实轴长是_.【解析】将双曲线2x2-y2=8化成标准方程则a2=4，所以实轴长2a=4.答案：42.(2011湖南高考改编)设双曲线(a0)的渐近线方程为3x2y=0，则a=_.【解析】由可得到双曲线的渐近线方程为y=x，又已知双曲线的渐近线方程为3
9、x2y=0，根据直线重合的条件可得到a=2.答案：23(2011新课标全国卷改编)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为_.【解析】不妨设双曲线的焦点在x轴上(焦点在y轴上的离心率与焦点在x轴上的离心率一样)，方程为(a0,b0)，设F(c,0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，由l过点F且与对称轴垂直，可得x1=x2=c,将其代入双曲线的方程得y1=y2=，故AB=，依题意，AB=2a2=4a，=4a，化简整理得b2=2a2，解得答案：4.(2011江西高考)若双曲线的离心率e=2，则m=_.【解析】由题意可得a2=16,b2=m,故c2=a2+b2=16+m,又 m=48.答案：485.(2011辽宁高考)已知点(2，3)在双曲线C：(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为_.【解析】由题意可得解之得所以所求离心率答案：2
