1、第七节抛 物 线三年15考高考指数:1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化是高考的热点，有时与其他知识交汇命题；2.多以选择题和填空题为主，属中、低档题目，有时也会在解答题中出现，属中、高档题目.1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离_；(3)定点_定直线上.相等不在【即时应用】(1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的轨迹是什么？提
2、示：若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的轨迹方程为_.【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点，y=2为准线的抛物线，其方程为：x2=8y.答案：x2=8y2.抛物线的标准方程和几何性质【即时应用】(1)思考：抛物线y2=2px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py(p0)，结果如何?提示：由抛物线的定义得：|MF|=若抛物线方程为x2=2py(p0)，则|MF|=(2)抛物线4y=-x2的焦点坐标为
3、_.【解析】抛物线4y=x2的标准方程为x2=4y，所以2p=4，再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(0,1).答案：(0，-1)(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_.【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以=6，又因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为：y2=24x.答案:y2=24x抛物线的定义及其应用【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在
4、解题中的应用.【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为_.(2)设P是抛物线y2=4x上的一动点，求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|+|PF|的最小值.【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等，即轨迹为抛物线；(2)注意到直线x=-1为抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，所以点P到直线x=-
5、2的距离与它到点M(2,0)的距离相等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故轨迹为抛物线.答案:抛物线(2)由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则|AP|+|PF|AF|=从而知点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时P1Q|P1F|，那么PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即最小值为4.【反思感悟】本题(1)是利用抛物线的定义来求解，在求轨迹或轨迹方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事
6、半功倍的效果.2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.抛物线的标准方程与性质【方法点睛】1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等.【提醒】抛物线方程中的参数p0，其几何意义是焦点到准线的距离.【例2】
7、(2011山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()(A)(0，2)(B)0，2(C)(2，+)(D)2，+)【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知动圆半径的范围，再由抛物线方程求得点M纵坐标的取值范围.【规范解答】选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y=-2，由圆与准线相交知416，所以8y0+(y0-2)216，即有y02+4y0-120，解得y02或y02.【反思感悟】1.解答本题的关键是直线与圆相交，圆的半径大于圆心到直线的距离.2.
8、当点在曲线上时，点的坐标适合曲线方程，这一条件在求最值、范围、解方程中应用比较广泛，但容易被忽视.直线与抛物线的位置关系【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.方程特征公共点个数位置关系直线与抛物线m=01直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交m0,02相交m0,=01相切m0,00相离2.直线与抛物线相交的几个结论已知抛物线y2=2px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：(1)AB|=x1+x2+p或|AB|=(为A
9、B所在直线的倾斜角)；(2)(3)y1y2=-p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.【例3】已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解题指南】(1)用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；(2)依题意设直线l的方程为y=-2x+
10、t，联立直线与抛物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求出t的值.【规范解答】(1)将(1，2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1，p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以=4+8t0，解得t 另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得 t=1，由于1+)，1+)，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.【反思感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数
11、法求解；2.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011福建高考)如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解题指南】(1)直线与抛物线方程联立，然后相切即判别式=0，解得b的值；(2)求出A点坐标，找出圆心和半径，写出圆的标准方程即可.【规范解答】(1)由得x2-4x-4b=0.
12、()3分因为直线l与抛物线C相切，所以=(4)2-4(-4b)=0，解得b=1.6分(2)由(1)可知b=-1，故方程()即为x2-4x+4=0，解得x=2.将其代入x2=4y，得y=1.故点A(2,1)9分因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即r=|1-(-1)|=2，所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有以下两点容易造成失分：(1)直线与圆相切，利用代数法求解，由于运算量大，极易出现计算错误；(2)直线与圆相切，可选择点到直
13、线的距离；也可选择直线方程与圆的方程联立、消元，其判别式等于零.选择前者运算量较小，易得满分，选择后者，运算量较大，易失分.因而方法的选择不当也可能导致失分.备考建议解决直线与圆、抛物线的问题时，还有以下几点在备考时应高度关注：(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的形式(是标准方程还是一般方程)；(2)直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，注意“设而不求”；(3)直线与抛物线有一个交点时，直线与抛物线不一定相切.1.（2012衡阳模拟）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K,则AKF的面积
14、是()(A)4 (B)(C)(D)8【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l:x=-1，经过F且斜率为的直线y=(x-1)与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,)，AKl，垂足为K(-1,)，AKF的面积是故选C.2.(2011辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()(A)(B)1 (C)(D)【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2),由抛物线的定义可知，又因为|AF|+|BF|=3，得所以线段AB的中点横坐标所以选C3.(2011天津高考)已知双曲线(a0，b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.由题意可知a+=4，又点(-2,-1)是两直线的交点，所以=2，即p=4，a=2，将(-2，-1)代入双曲线的一条渐近线方程，得b=1，因此故2c=
