1、第六节抛物线三年15考高考指数:1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形结合的思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.1.抛物线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，抛物线的焦点弦是高考的热点，有时与其他知识交汇命题；2.多以选择题和填空题为主，属中、低档题目，有时也会在解答题中出现，属中、高档题目.1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线(1)在平面内；(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离_；(3)定点_定直线上.相等不在【即时应用】(1)思考：在抛物线的定义中，若定点F在定直线l上，动点的集合是什么？提示:若定点F在定直线l上，则动点的
2、轨迹为过点F与定直线l垂直的一条直线.(2)若动点P到点F(0,-2)的距离与它到直线y-2=0的距离相等，则点P的集合是_，其方程为_.【解析】由抛物线的定义知，点P的轨迹是以点F(0,-2)为焦点，y=2为准线的抛物线，其方程为：x2=8y.答案：抛物线x2=8y2.抛物线的标准方程和几何性质离心率顶点坐标范围对称轴准线方程焦点坐标性质图形标准方程y 轴y 0O(0,0)e=1x2=2py(p0)yoxFx2=-2py(p0)y轴y 0 xyoF【即时应用】(1)思考:抛物线y2=2px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系?若抛物线方程为x2=2py(
3、p0)，结果如何?提示:由抛物线的定义得：|MF|=x0+；若抛物线方程为x2=2py(p0)，则|MF|=y0+.(2)抛物线y=-4x2的焦点坐标为_.【解析】抛物线y=-4x2的标准方程为，所以2p=再由抛物线的焦点在y轴的非正半轴上，所以抛物线的焦点坐标为(0,).答案：(0,-)(3)顶点在原点，对称轴是x轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是_.【解析】因为抛物线顶点与焦点的距离等于6，所以=6，又因为顶点在原点，对称轴是x轴，所以抛物线方程为：y2=24x.答案：y2=24x抛物线的定义及其应用【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)抛物线的判定：用抛物线的定义可以
4、确定动点到定点与到定直线距离相等的点的集合；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用抛物线的定义进行两者之间的转化.【提醒】注意一定要验证定点是否在定直线上.【例1】(1)若点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，则点P的集合为_，其方程为_.(2)设P是抛物线y2=4x上的一动点，抛物线的焦点为F,求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值；若B(3,2)，求|PB|+|PF|的最小值.【解题指南】(1)本题可化为动点到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合问题，判定形状后确定其方程；(2)注意到直线x=-1为抛物
5、线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，即可解决.【规范解答】(1)因为点P到直线x+1=0的距离比它到点M(2,0)的距离小1，所以点P到直线x=-2的距离与它到点M(2,0)的距离相等，且M(2,0)不在直线x=-2上，故点的集合为抛物线，其方程为y2=8x.答案：抛物线y2=8x(2)由于A(-1,1)，F(1,0),P是抛物线上的任意一点，则|AP|+|PF|AF|=从而知点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(-1,1)的距离与P到直线x=-1的距离之和的最小值也为.如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于
6、点P1，此时P1Q|P1F|，那么PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即最小值为4.QOP1FxyB(3,2)【反思感悟】本题(1)是利用抛物线的定义来求解，在求动点的集合或其方程时一定要注意圆锥曲线的定义，这样能起到事半功倍的效果.2.与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，将点到准线的距离转化为点到焦点的距离，或将到焦点的距离转化为到准线的距离.抛物线的标准方程与几何性质【方法点睛】1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式
7、，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x、y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等，常用数形结合法.【提醒】抛物线方程中的参数p0，其几何意义是焦点到准线的距离.【例2】(2012西安模拟)过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，M、N为准线l上两点，AMl，BNl，M、N为垂足，C为线段AB的中点，D为线段MN的中点，CD交抛物线于点E，下列结论中正确的是_.(把你认为正确的序号都填上)为定值以AB为直径的圆与l相切以MN为直径的圆与AB所在的直线相切以AF为直径的圆与y轴相切E为线
8、段CD的中点【解题指南】数形结合，充分利用抛物线的定义解答.【规范解答】(1)当ABx轴时，如图所示：F(，0)，A(，p)，B(，-p)，=为定值.故正确；显然都正确.(2)当直线AB的斜率存在时，如图所示：设AB：y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2)由得正确；如图，由抛物线的定义，得|AB|=|AM|+|BN|，|CD|=(|AM|+|BN|)=|AB|，以AB为直径的圆与l切于点D.正确；连结MF，NF，则MFNF，|DF|=|MN|.以MN为直径的圆与AB切于点F，正确；设AM与y轴交于点G，则|AF|=|OF|+|AG|，同的判断，得以AF为直径的圆与y轴相切，正确；由
9、以上知，C点的纵坐标为设E(x0,y0),则 正确.答案：【反思感悟】1.解答本题，可用特值法，即做完规范解答的第一步就可下结论.2.研究圆锥曲线的几何性质时，常数形结合，利用平面几何的相关知识求解.直线与抛物线的位置关系【方法点睛】1.直线与抛物线的位置关系的判定设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.直线与抛物线方程特征交点个数位置关系m=0m0,0m0,=0m0,0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有以下结论：(1)AB|=x1+x2+p或(为AB所在直线的倾斜角)；(2)
10、x1x2=；(3)y1y2-p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.【提醒】直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.【例3】已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1,-2).(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.【解题指南】(1)用待定系数法求出抛物线方程及其准线方程；(2)依题意设直线l的方程为y=-2x+t，联立直线与抛
11、物线的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线l的距离等于列出方程，求出t的值.【规范解答】(1)将(1，2)代入y2=2px，得(-2)2=2p1，p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，由得y2+2y-2t=0，因为直线l与抛物线C有公共点，所以=4+8t0，解得t .另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得 t=1，由于1,+)，1，+)，所以符合题意的直线l存在，其方程为y=-2x+1.【反思感悟】1.求抛物线方程，一般是先设出抛物线方程(注意抛物线的开口方向，焦点的位置)，用待定系数法求解；2
12、.研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.【满分指导】直线与抛物线综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011福建高考)已知直线l：y=x+m，mR.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由.【解题指南】(1)由题意得出点P坐标,根据切线特点求出点P坐标，从而求出圆的半径，然后写出圆的标准方程；求解本题也可根据条
13、件先设出圆的方程,然后根据圆与直线相切的条件列关系式求解.(2)由l的方程求得l的方程，将l的方程与抛物线C的方程联立，得一元二次方程，然后依据对应判别式来判定两者能否相切.【规范解答】方法一：(1)依题意，点P的坐标为(0,m).因为MPl,所以11.解得m=2，即点P坐标为(0,2).2分从而圆的半径故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.6分(2)因为直线l的方程为y=x+m，所以直线l的方程为y=-x-m.由得x2+4x+4m=0.8分4244m=16(1-m).当m=1，即=0时，直线l与抛物线C相切；当m1，即0时，直线l与抛物线C不相切.11分综上，当m=1时，直线l与抛物线C相
14、切；当m1时，直线l与抛物线C不相切.12分方法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.依题意，所求圆与直线l：y=x+m相切于点P(0,m)，则解得 4分所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.6分(2)同方法一.【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有以下两点容易造成失分：(1)直线与圆相切，利用代数法求解，由于运算量大、运算法则应用不当易出现计算错误；(2)直线关于x轴对称，不能得出两个倾斜角互补(即斜率为相反数)或两直线在y轴上的截距互为相反数，思路受阻，从而造成失分.备考建议解决直线与圆、
15、抛物线的问题时，还有以下几点在备考时应高度关注：(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的形式(是标准方程还是一般方程)；(2)直线与抛物线的交点问题，可联立直线与抛物线的方程，消元化成一元二次方程，注意“设而不求”；(3)直线与抛物线有一个交点时，直线与抛物线不一定相切.1.(2012南昌模拟)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()(A)y2=4x (B)y2=8x(C)y2=4x (D)y2=8x【解析】选B.由题意得F(,0)，则l：y=2(x-)，令x=0,得y=，即A(0,)，SOAF=|OF|OA|
16、=|=4，a2=64,a=8.抛物线的方程为y2=8x.2.(2011新课标全国卷)已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则 ABP的面积为()(A)18 (B)24 (C)36 (D)48【解析】选C.由题知AB2p12，得p=6，又点P到直线AB的距离为p=6，SABP=|AB|6=36.3.(2011辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为()(A)(B)1 (C)(D)【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2),由抛物线的定义可知，|AF|=x1+=x1+，|BF|=x2+=x2+，又因为|AF|+|BF|=3，得x1+x2=，所以线段AB的中点横坐标所以选C4.(2011天津高考)已知双曲线(a0，b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()(A)2 (B)2(C)4 (D)4【解析】选B.由题意可知a+=4，又点(-2,-1)是两直线的交点，所以=2，即p=4，a=2，将(-2，-1)代入双曲线的一条渐近线方程，得b=1，因此故2c=2 .
