1、第五节椭圆三年19考高考指数:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；2.直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；3.选择、填空题常考查椭圆的定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问的形式出现，第一问考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆的位置关系及学生分析问题、解决问题的能力.1.椭圆的定义(1)满足条件在平面内与两个定点F1、F2的距离之_等于常数常数大于_(2)焦点：
2、两定点(3)焦距：两_间的距离和|F1F2|焦点【即时应用】判断下列点的轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”)(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2的点的轨迹()(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4的点的轨迹()(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6的点的轨迹()【解析】由椭圆的定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点的轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点的轨迹是以A、B为端点的一条线段；(3)符合椭圆定义，点的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆.答案：(1)否(2)否(3)是2.根据图形写出相对应的椭圆的标准
3、方程和几何性质标准方程A1xyoB2A2B1F1F2bac对称轴：坐标轴对称中心：原点长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b图形性质范围对称性顶点轴（ab0）（ab0）-a x a-b y b-b x b-a y aA1(-a，0),B1(0，-b),A2（a，0）B2（0，b）A1(0，-a),A2（0，a）B1(-b，0),B2（b，0）xyoA2B1B2A1F1F2bca图形性质焦距离心率a、b、c的关系xyoB2A1A2B1F1F2bacxyoA2B1B2A1F1F2bca【即时应用】(1)思考：椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?提示：因为离心率所以，离心率越接近于1
4、，b就越接近于0，即短轴的长接近于0，椭圆就越扁；离心率越接近于0，a、b就越接近，即椭圆的长、短轴长越接近相等，椭圆就越接近于圆，但永远不会为圆.(2)已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆的离心率为则m的值为_.【解析】的焦点在y轴上，所以a2=m,b2=2，离心率为又离心率为所以解得m=.答案：(3)已知椭圆的短轴长为6，离心率为，则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为_.【解析】因为椭圆的短轴长为6，所以b=3 又因为离心率为，所以 又因为a2=b2+c2 解组成的方程组得：a=5,c=4.所以，焦点到长轴端点的距离为：a+c=9或a-c=1.答案：9或1椭圆的定义、标准方程【方法点睛】1.椭圆定
5、义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆焦点不确定时的标准方程的设法当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为(m0,n0,mn)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.【例1】(1)(2012合肥模拟)P为椭圆上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若F1PF2=60，则=()(A)3 (B)(C)2 (D)2(2)已知ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则A
6、BC的周长为_.(3)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解题指南】(1)已知向量的夹角为60，选择公式=cosF1PF2计算从而把问题转化为求的值，然后利用椭圆的定义及余弦定理可解；(2)注意A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另一个焦点，因此，可借助于椭圆的定义求ABC的周长.(3)可先设椭圆的方程为或(ab0)，再根据题设条件求出相应的参数值即可.【规范解答】(1)选D.由题意得a=2,b=,=2c=2.在PF1F2中，由余弦定理得即(2)因为A为椭圆的一个焦点，且BC边过椭圆的另一个焦点，设该焦
7、点为F，所以由椭圆的定义得：|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=因此，ABC的周长为答案：(3)设椭圆方程为或(ab0)，因为P到两焦点的距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点，所以(2c)2=52-32=16，所以c2=4，因此b2=a2-c2=12，所以椭圆方程为：【反思感悟】1.在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时，经常联想到椭圆的定义，即利用椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a求解，涉及到椭圆上的点与焦点构成的三角形时，还常用余弦定理求解.2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上的点到两焦点的距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，
8、从而得出方程；若已知点的坐标，可先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求解；当椭圆的焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，无论哪种情形，始终有ab0.椭圆的几何性质及应用【方法点睛】1.椭圆几何性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x、y的范围，离心率的范围等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到这些不等关系.2.利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.3.求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等
9、式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.【提醒】椭圆离心率的范围:0eb0)的两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且，tanPF1F2=2,则该椭圆的离心率等于_.【解题指南】由得F1PF2为直角三角形，再由tanPF1F2=2得出两直角边的比为2，而斜边长为2c，由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率.【规范解答】因为，所以PF1PF2，得F1PF2为直角三角形，又因为tanPF1F2=2，所以可设|PF1|=m，则|PF2|=2m，2a=3m，2c=m，所以离心率答案：【反思感悟】1.求椭圆的离心率的值的问题，关键是依据题设条件寻找关于a、b、c的一个等式，或解方
10、程求出离心率，或直接求出离心率；2.在解方程求椭圆离心率的值时，要注意椭圆离心率自身的范围，有增根要舍去.直线与椭圆的位置关系【方法点睛】1.直线与椭圆位置关系判断的步骤首先：联立直线方程与椭圆方程；其次：消元得出关于x(或y)的一元二次方程；得出结论：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.2.直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2，y2),则(k为直线斜率).3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式中点弦或弦的中点点差法【提醒】利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况
11、下进行的，不要忽略判别式.【例3】(2011北京高考)已知椭圆G:(ab0)的离心率为，右焦点为(,0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰PAB，顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积.【解题指南】(1)利用a,b,c的关系及离心率求出a,b，代入标准方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系，设而不求，整体代入.【规范解答】(1)由已知得解得又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为(2)设直线l的方程为y=x+m，由得，4x2+6mx+3m2-12=0 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(不妨令x10，求证
12、：PAPB.【解题指南】(1)利用MN的中点在PA上即可求解；(2)先求点P的坐标，再求出AB的方程，就能求出距离d;(3)证明斜率之积为-1即可.【规范解答】(1)由题意知，a=2,b=故M(-2,0),N(0,).所以线段MN的中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以3分(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得解得x=，因此P(,),A(-,-),于是C(,0),直线AC的斜率为所以直线AB的方程为5分因此7分(3)方法一：将直线PA的方程y=kx代入，解得x=记=8分则P(,k),A(-,-k)，于是C(,0)，故直线AB的斜率
13、为，直线AB的方程为y=(x-)，代入椭圆方程得(2+k2)x2-2k2x-2(3k2+2)=0，解得或x=-，10分因此于是直线PB的斜率为因此k1k=-1，所以PAPB.12分方法二：设P(x1,y1)，B(x2,y2),则x10,x20,x1x2，A(-x1,-y1),C(x1,0).8分设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上，所以从而10分因此k1k=-1，所以PAPB.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分:(1)解答第二问时，找不到AB的直线方程，其错误原因是只看到了点A，而忽
14、视了点C在直线AB上这一条件；(2)计算直线PA、PB的斜率之积时，运算上出现错误.备考建议解决直线与椭圆的综合问题时，要注意以下几点：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆方程联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.1.(2011新课标全国卷)椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.直接求故选D.2.(2012榆林模拟)已知椭圆C：(ab0)的离心率为,短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A、B两点.若则k=()(A)1 (B)(C)(D)2【解析】选B
15、.方法一：横坐标法由题意得b=1,a=2,c=,F(,0)，C:,直线方程为y=k(x-),令A(x1,y1),B(x2,y2)，由得(1+4k2)x2-8 k2x+12k2-4=0，,-x1=3(x2-),即x1=4 -3x2代入得代入得即k2=2,k0,k=.方法二：以上同方法一：纵坐标法由得 ，,y1=-3y2,代入得代入得解得,k2=2,k0,k=.3.(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_.【解析】由ABF2的周长等于4a=16,得a=4，又知离心率为即，进而c=，所以a2=16，b2=a2-c2=16-8=8，C的方程为答案：4.(2011浙江高考)设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若，则点A的坐标是_.【解析】椭圆的焦点分别为F1(-,0),F2(,0)，设A点坐标为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+=5(p-),即又且由上面两式解得m=0,n=1,即点A的坐标是(0,1).答案：(0，1)或(0,-1)
