1、单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1设a(x,4,3)，b(3,2，z)，若ab，则xz(B)A4 B9C9 D.解析：ab，.x6，z.xz9.2如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则()(C)A. B.C. D.解析：()()，又，().3已知a，b，c是空间中的一个基底，则可以与向量ab，a构成基底的向量是(D)Ab Ba2bCab Dbc解析：本题主要考查向量共面的条件因为向量b，a2b，ab均与向量ab，a共面，而向量bc与向量ab，a不共面，故选D.4若向量a，b的坐标满足ab
2、(2，1,2)，ab(4，3，2)，则ab(B)A5 B5C7 D1解析：本题综合考查向量的坐标运算以及数量积运算因为ab(2，1,2)，ab(4，3，2)，所以a(1，2,0)，b(3,1,2)，所以ab1(3)(2)1025，故选B.5已知点A(0,1,0)，B(1,0，1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)若PA平面ABC，则点P的坐标为(C)A(1,0，2) B(1,0,2)C(1,0,2) D(2,0，1)解析：由题意知(1，1，1)，(2,0,1)，(x，1，z)因为PA平面ABC，所以(1，1，1)(x，1，z)0，即x1z0；(2,0,1)(x，1，z)0，即2xz0.联立
3、解得x1，z2，故点P的坐标为(1,0,2)6如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为(D)A. B.C. D.解析：以D为原点，以，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M(1，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)(1，1)(1,0,0)(0，1)，(1,1，)(0,1,0)(1,0，)故0101，|，|.则cos，.7若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为(B)A1 B.C. D.解析：易知A1C1平面ACD1，则点A1到平
4、面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离建立如图所示的空间直角坐标系，易知(0,0,1)，平面ACD1的一个法向量为n(1,1,1)，故所求的距离为|.8已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则的值为(C)A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：如图所示，正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，|a，|a，|a，|a，cos，|cos，aaa2.9已知A(0,0，x)，B(1，2)，C(x，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且x2x4，则与的夹角为(C)A. B.C. D.解析：本题考查空间向量基
5、本定理与向量的夹角由A，B，C，M四点共面可知x2x41，x1，A(0,0,1)，C(1，2)，(1，1)，(1，1)，cos，即与的夹角为.故选C.10在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(A)A.a B.aC.a D.a解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)(a，a,0)，.设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，得x1，y1.n(1,1,2)，n0.A1到平面BDM的距离为d|n0|a.11正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD
6、的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角是(A)A30B45C60D75解析：如图，以 O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，所以，n60，所以直线BC与平面PAC的夹角为906030.12如图，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为(C)A. B.C. D.解析：如图，作BDAP于点D，CEAP于点E.设AB1，则易得CE，EP，PAP
7、B，可以求得BD，ED.，2222222，.cos，故二面角BAPC的余弦值为，选C.二、填空题(每小题4分，共16分)13已知空间向量s，r不共线，若向量atsr，bst2r，a与b(b0)共线，则实数t的值为1.解析：a与b(b0)共线，则存在实数，使得ab，即tsr(st2r)，由s，r不共线，得解得14已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，若|a|，且a分别与，垂直，则向量a(1,1,1)或(1，1，1)解析：设a(x，y，z)，由题意得解得或a(1,1,1)或a(1，1，1)15如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，A
8、C2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AEa或2a.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D(，3a)，C(0，a,0)设E的坐标为(a,0，z)，则(a，a，z)，(a,0，z3a)由已知，2a2z23az0，解得za或2a.AEa或2a.16如图(1)是一副直角三角板现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示下列叙述：0；平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；异面直线BC与AD所成的角为60；直线DC与平面ABC所成的角为30.其中正确的是.(填序号)解析：以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建
9、立空间直角坐标系，如图所示设BD2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2，0)，A(0，)，(2,0,0)，(0，)，(0,2，0)，(2，)，(2，2，0)，(2,0,0)(0，)0，正确；平面BCD的一个法向量为n1(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2(，1,1)，n1n20，错误；|，错误；平面ABC的一个法向量为(2,0,0)，|，故正确三、解答题(共74分)17(本题满分12分)已知a(3,5，4)，b(2,1,2)求：(1)ab；(2)a与b夹角的余弦值；(3)确定，的值使得ab与z轴垂直，且(ab)(ab)77.解：(1)ab(3,5，4)(2,1,2)3251
10、(4)23.(2)|a|5，|b|3.cosa，b.(3)取z轴上的单位向量n(0,0,1)，ab(5,6，2)依题意，得即化简整理，得解得18(本题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长解：(1)()，又a，b，c，abc.(2)ABACAA11，|a|b|c|1.BAC90，ab0.BAA1CAA160，acbc，|2(abc)2(a2b2c22ab2ac2bc)，|.19(本题满分12分)如图，在六面
11、体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12.求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；(2)平面A1ACC1平面B1BDD1.证明：由题意可知，DA，DC，DD1两两垂直以D为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)(1)(1,1,0)，(2,2,0)，(1，1,0
12、)，(2，2,0)，2，2.与平行，与平行，A1C1与AC共面，B1D1与BD共面(2)(0,0,2)(2,2,0)0，(2,2,0)(2,2,0)0，即DD1AC，DBAC.又DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1.又AC平面A1ACC1，平面A1ACC1平面B1BDD1.20(本题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x
13、轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.21(
14、本题满分13分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点(1)证明：直线MN平面OCD；(2)求异面直线AB与MD的夹角的大小；(3)求点B到平面OCD的距离解：作APCD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，0)，D(，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1，0)(1)证明：(1，1)，(0，2)，(，2)设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即取z，解得n(0,4，)n(1，1)(0,4，)0，MN平面
15、OCD.(2)设AB与MD的夹角为.(1,0,0)，(，1)，cos.AB与MD的夹角为.(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量n(0,4，)上的投影的绝对值由(1,0，2)，得d，点B到平面OCD的距离为.22(本题满分13分)如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解：以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)由题意得AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)，设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)因为(0，2,2)，所以cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且仅当t，即时，|cos，|取得最大值，最大值为.因为ycosx在(0，)上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值又|，所以BQ|.