1、第二节两直线的位置关系内容要求ABC直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离，点到直线的距离高考指数:1.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系直线l1、l2不重合，斜率分别为k1，k2且都存在l1l2 k1=k2l1l2 k1k2=-1【即时应用】(1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1l2,则a=_；(2)直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.【解析】(1)l1与l2的斜率分别为由l1l2可知：a=-2.(2)由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30=
2、l1l，k1=k=ll2,k2k=-1,k2答案：(1)-2 (2)2.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_；重合方程组有_.惟一解无解无数组解【即时应用】(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；无交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组得直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-
3、16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2)(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组无解，直线l1与l2平行.答案：平行3.距 离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离【即时应用】(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_；(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_；(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_.【解析】(1)因为d(2)依题设及两点间的
4、距离公式，得解得a=8；(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：d答案：(1)(2)8 (3)直线平行、垂直关系的判断及应用【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.(2)已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：A1A2+B1B2=0l1与l2 重合的充分条件l 1与l2 相交的充分条件l1与l2 平行的充分条件l1与l2 垂直的充要条件l1:l2:直线方程【例1】(1)(2011浙江高考)若直线x
5、-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=_.(2)已知过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_.(3)已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),试判断该四边形的形状.【解题指南】(1)利用两直线垂直的充要条件求解；(2)可根据两直线平行，斜率相等，得出一个等式，解方程即可求值；(3)分别求出四条边的斜率及其边长，即可判断四边形的形状.【规范解答】(1)由题意可得12-2m=0,解得m=1.答案：1(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2，又因为过A(-2,m)，B(m,4)的直线与
6、直线2x+y-1=0平行，所以解得m=-8.答案：-8(3)因为四边形的顶点坐标为A(0,1)，B(1,0),C(3,2),D(2,3),所以kAB=-1，kBC=1，kCD=-1，kAD=1.ABCD，BCAD，且ABBC，ABAD.又因为|AB|=|AD|=即|AB|AD|，所以，四边形ABCD为长方形.【反思感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.两直线的交点问题【方法点睛】1.求两直线交点的方法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即
7、为交点.2.过两直线交点的直线系方程过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_.(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.【规范解答】(1)方法一：因
8、为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，又直线过A(8,-4)，所以所求直线方程为：即x+2y=0.方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0，又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得:所以，所求直线方程为x+2y=0.答案：x+2y=0(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为y l2的方程为两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线相交，解得m4，此时，实数m、n满足的条件为m4，nR.【反思感
9、悟】本例(1)是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值;本例(2)考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解.(1)当两点连线平行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；(2)当两点连线平行于y轴时，其距离等于这两点纵坐标之差的绝对值.2.点到直线的距离的求法点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式，但要注意，此时直线方程必须为一般式.
10、3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.【例3】已知点A(2，-1)，(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离；(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在.请说明理由.【解题指南】(1)因为已知直线过点A，因此可选择点斜式方程，利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不存在的情况进行讨论；(2)易知最大
11、距离时的直线与AO垂直，这样问题即可解决；(3)可由(2)知道距离的最大值，从而得出直线是否存在.【规范解答】(1)过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2,-1).当斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0，由已知得解得k=，此时直线l的方程为3x-4y-10=0,综上可知：直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)由题意易知，过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由lAO，得klkOA=-1，所以，由直线的点斜式得y+1=2(x-2)，即2x-y-
12、5=0，即直线2x-y-5=0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.【反思感悟】1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况；2.求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件，以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.对称问题【方法点睛】1.对称中心的求法若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即2.轴对称的两个公式若两点M(x1,y1)、N(
13、x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连结MN的直线垂直于对称轴l.故有3.对称问题的类型(1)点关于点对称；(2)点关于直线对称；(3)直线关于点对称；(4)直线关于直线对称.以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.【例4】已知直线l：2x-3y+1=0，点A(-1,-2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线l关于点A的对称直线l的方程.【解题指南】(1)可设对称点A的坐标为(m,n)，利用AA与直线l垂直以及线段AA的中点在直线l上，得出关于m、n的方程组，解方程组即可得A的坐标；(2)本题实质上是求直线
14、的方程，可想法找到两个点的坐标，即可求出直线l的方程.也可在l上任取一点，利用该点关于点A的对称点在直线l上即可得出方程.【规范解答】(1)设对称点A的坐标为(m,n)，由已知可得解得即A(2)方法一：在l上任取两点(1,1)与(0,)，则它们关于点A(-1，-2)的对称点坐标为(-3,-5)与(-2,-)l的方程为:化简得2x-3y-9=0.方法二:设点P(x,y)为l上任意一点，则点P关于点A的对称点为P(-2-x,-4-y)，又因为P在直线l上，所以，2(-2-x)-3(-4-y)+1=0，即2x-3y-9=0.【反思感悟】1.此题是点关于线对称，线关于点对称，这类问题都要抓住对称这一特
15、征解决问题.2.(1)利用方程思想，(2)利用中点坐标公式，找到已知点与未知点之间的关系，最后利用曲线方程的概念代入求解.【创新探究】新定义下的“直线方程”问题【典例】(2012上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义OP=|x|+|y|，其中O为坐标原点.对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线x+2y-2=0上任意一点，则OP的最小值为1；设P为直线y=kx+b(k,bR)上的任意一点，则“使 OP最小的点P有无数个”的必要条件是“k=1”.其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号).【解题指南】根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段
16、函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题；根据|x|+|y|大于等于|x+y|或|x-y|，把y=kx+b代入即可得到结论.【规范解答】由OP=1，根据新定义得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；x-11yo-11ABCD当点P为(0)时，OP=|x|+|y|=+01,所以OP的最小值不为1，故错误；因为|x|+|y|x+y|=|(k+1
17、)x+b|，当k=-1时，|x|+|y|b|，满足题意；而|x|+|y|x-y|=|(k-1)x+b|，当k=1时，|x|+|y|b|，满足题意，所以“使OP最小的点P有无数个”的必要条件是“k=1”，故正确.所以正确的结论有.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题中的创新点有二:(1)考查内容的创新，使解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查.(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同.备考建议解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延
18、；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何.1.(2012苏州模拟)与直线7x+24y=5平行，并且与已知直线距离等于3的直线方程是_.【解析】设直线方程为7x+24y+c=0,d=c=70或-80，即所求直线方程为：7x+24y+70=0或7x+24y-80=0.答案：7x+24y+70=0或7x+24y-80=02.(2012连云港模拟)两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为_.【解析】把3x+y-3=0变化为6x+2y-6=0,两直线平行，m=2,则答案：3.(2012泰州模拟)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为则直线m的倾斜角是_.【解析】两平行线l1与l2间的距离直线m必与l1、l2垂直.又l1：x-y+1=0的倾斜角为45，故直线m的倾斜角为135.答案：135
