1、第二节两条直线的位置关系三年2考高考指数:1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两直线平行与垂直的判定、两点间距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式是高考的重点；2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.1.两条直线的平行与垂直的关系(1)直线l1、l2不重合，斜率分别为k1、k2且都存在l1l2l1l2k1=k2k1k2=-1(2)当直线l1与l2的斜率至少有一个不存在时：l1l2
2、两直线的斜率都不存在且在x轴上的截距不等；l1l2一直线斜率不存在，另一直线的斜率为0.【即时应用】(1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1l2,则a=_；(2)直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.【解析】(1)l1与l2的斜率分别为由l1l2可知：a=-2.(2)由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30=，l1l，k1=k=,l2l,k2k=-1,答案：(1)-2 (2)2.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共
3、点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_；重合方程组有_.唯一解无解无数组解【即时应用】(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组得：直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2)(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_.【解析】由直线l1与
4、l2所组成的方程组无解，直线l1与l2平行.答案：平行3.距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离【即时应用】(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_；(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_；(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_.【解析】(1)因为(2)依题设及两点间的距离公式得：解得：a=8.(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：答案：(1)(2)8 (3)直线平行、垂直关
5、系的判断及应用【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于-1；(2)已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，转化为第一种方法，或利用以下方法求解：A1A2+B1B2=0l1与l2 重合的充分条件l 1与l2 相交的充分条件l1与l2 平行的充分条件l1与l2 垂直的充要条件l1:l2:直线方程【例1】(1)(2012淮南模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)已知过点A(-2,
6、m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_；(3)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直，由两直线垂直是否能得出a=1；(2)可根据两直线平行，斜率相等，得出一个等式，解方程即可求值；(3)设所求点的坐标为D(x,y)，利用长方形的性质得出关于x、y的方程组，解方程组即可得出D点的坐标.【规范解答】(1)选C.当a=1时，直线x-ay=0可化为x-y=0,此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直；当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时，11+1
7、(-a)=0,解得：a=1,因此，“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充要条件.(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2，又因为过A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，所以解得m=-8.答案：-8(3)设D的坐标为D(x,y)，因为四边形ABCD为长方形，所以，即解得即点D的坐标为(2,3).【反思感悟】通过本例的解析过程可知，处理两直线的位置关系，在两直线斜率都存在的前提下，利用两直线的斜率和在y轴上的截距去处理；若直线的斜率不存在，则可考虑数形结合.两直线的交点问题【方法点睛】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的
8、方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点；2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)【例2】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点，且也经过点A(8,-4)的直线方程为_；(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.【规范解答】(1)方法
9、一：因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点坐标为(-2,1)，直线又过A(8,-4)，所以所求直线方程为：即x+2y=0；方法二：设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程为x+y+1+(x-y+3)=0，又因为直线过A(8,-4)，所以8-4+1+(8+4+3)=0，解得:=-所以，所求直线方程为x+2y=0.答案：x+2y=0(2)因为两直线ll1：mx+8y+n=0与ll2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，ll1的方程为ll2的方程为两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线相交，解得m4，此时，实数m、n满足的条件为m4且
10、m0，nR,综上所述,实数m,n满足的条件为m4,nR.【反思感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值;2.本例(2)考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法设点A(xA,yA),B(xB,yB)，特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB|;ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.2.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为
11、一般式.3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.【例3】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线
12、之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；(2)由点P(x0,y0)满足条件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件.【规范解答】(1)l2为l1与l2的距离为a0,a=3.(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+c=0上且即若P点满足条件，由点到直线的距离公式有：即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P在第一象限，3x0+2=0不可能.联立方程解得存在同时满足条件.【反思感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的
13、距离公式得出方程(组)；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解.对称问题【方法点睛】1.对称中心的求法若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即2.轴对称的两个公式若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.故有3.对称问题的类型(1)点关于点对称；(2)点关于直线对称；(3)直线 关于点对称；(4)直线关于直线对称.以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.4.对称问题的具体应用(1)在直线上求一点，使它
14、到两定点距离之和最小问题当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求;当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决.(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决.【例4】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上
15、任意一点，由该点关于直线l的对称点在已知曲线上，即可求得.【规范解答】方法一：由解得直线a与l的交点E(3,-2)，E点也在直线b上.在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0)，由解得由两点式得直线b的方程为方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).则解上式得：由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.【反思感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程，通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时可以转化为求点的对称点
16、坐标来求解.2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程.【创新探究】新定义下的直线方程问题【典例】(2012上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义OP=|x|+|y|，其中O为坐标原点.对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线上任意一点，则OP的最小值为1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号).【解题指南】根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图像，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题.【规范解答】由OP=1，根据新
17、定义得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),画出图像如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；当点P为时，OP=|x|+|y|=+01,所以OP的最小值不为1，故错误；所以正确的结论有：.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下两处创新点:(1)考查内容的创新，使解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查.(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同.
18、备考建议解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何.1.(2012西安模拟)已知两条直线l1:(m+3)x+4y+3m-5=0,l2:2x+(m+5)y-8=0,l1l2,则直线l1的一个方向向量是()(A)(1，-1)(B)(-1,-1)(C)(-1,1)(D)(2,1)【解析】选B.显然m-5,则且解得m=-7或m=-1(舍去)，l1:-4x+4y-26=0，即l1:直线l1的一个方向向量是(-1,-1).2.(2012
19、九江模拟)如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()(A)(B)6(C)(D)【解析】选A.点P关于y轴的对称点P的坐标是(-2,0)，设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P(a,b),则光线所经过的路程|PP|=故选A.3.(2011浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则实数m=_.【解析】由题意可得12-2m=0,解得m=1.答案：14.(2012汉中模拟)若点P是曲线y=x2上的任意点，则点P到直线y=x-2的最小距离为_.【解析】在曲线y=x2上任取一点P(x0,y0)，则P到直线y=x-2的距离为：因此，当时其最小值为.答案：
