1、第六节空间向量及其运算三年10考高考指数:1.了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的线性运算.3.掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.在客观题中考查向量的概念及其运算性质.2.利用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、线共面、平行,垂直等.3.数量积的运算及应用是考查热点.1.空间向量的有关概念名称定义空间向量自由向量单位向量零向量在空间中,具有_和_的量叫做空间向量，其大小叫作向量的_或_大小方向长度模与向量的_无关的向量起点长度或模为_的向量1长度为_的向量0名称定义相等向量相反向量向量的夹角方向_且模_的向量相同相等方向_而模_的向量相反相等过空间任意一点O
2、作向量的相等向量则AOB叫作向量的夹角，记作范围是0,名称定义平行向量共面向量直线的方向向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_,则这些向量叫作_或_平行重合共线向量平行向量平行于同一_的向量平面若A，B是空间直线l上任意两点，则称_为直线l的方向向量.（与_平行的任意非零向量也是直线l的方向向量）名称定义法向量如果直线l垂直于平面,那么把直线l的方向向量叫作平面的法向量.（所有与直线l平行的非零向量都是平面的法向量）【即时应用】(1)思考:若a与b确定平面为,则用a、b表示的c与的关系是怎样的?提示：可能与平行,也可能在内.(2)下列命题中，真命题的序号是_.分别表示空间向量的有向
3、线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是不共面向量若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反若向量满足且同向,则若两个非零向量满足则【解析】错.因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任两向量均共面.错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向无关.错.空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有这种写法.对.共线,故正确.答案：2.空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广如图，设a,b是空间任意两向量，若POC，(1)加法：(2)减法：a+ba-bOBCbAPa(3)数乘：(R).(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律：a+b=_，结合律
4、：(a+b)+c=_，(a)=_(R,R)，分配律：(a+b)=_(R).b+aa+(b+c)()aa+b【即时应用】(1)思考:当|a|=|b|0,且a,b不共线时,a+b与a-b是否共面?提示：由加法法则可知a+b与a-b可以是菱形的对角线,故满足题意的a+b与a-b一定共面.(2)判断下列命题的正误(请在括号内填“”或“”)空间任意五边形ABCDE，则()若ab，则a所在直线与b所在直线平行()空间任意两非零向量a、b共面()空间向量a平行于平面，则a所在直线平行于平面()【解析】由向量加法知(1)正确；当ab时，a与b所在直线平行或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两
5、向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确的；a所在的直线可能在平面内，故(4)是错误的答案：(3)在ABC中,已知D是AB边上一点,若则的值等于_.【解析】答案：3.共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得_.(2)共面向量定理如果两个向量a，b_，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_.a=b不共线p=x a+y b【即时应用】(1)思考:向量平面与直线AB平面是同一概念吗？提示：不是.向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况.因此，在用共面向量定理证明线面平
6、行时，必须说明向量所在的直线不在平面内.(2)思考:已知a,b，p是平面内的向量，则p=x a+y b的表示形式唯一吗？提示：若a,b不共线，则表示形式唯一；若a,b共线，与p不共线，则不存在这种表示形式；若a,b(a,b都是非零向量),p共线，则这种表示形式不唯一.(3)a=b(R)是a与b共线的条件_.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)【解析】若a=b,则a与b一定共线,反之,若a与b共线,其中b=0,a0,则a=b不成立.故“a=b(R)”是“a与b共线”的充分不必要条件.答案：充分不必要(4)若则下列结论中正确的序号是_.O,P,A,B四点一定共线P,
7、A,B共线P,A,B不共线O,P,A,B不共面【解析】如图所示,A,B,P三点共线.答案：4.空间向量的数量积(1)定义：ab=_.(2)运算律交换律：ab=_；分配律：a(b+c)=_；(ab)=_(R).|a|b|cosa,bbaab+ac(a)b(3)常用结论|a|=_；ab_；cosa,b=_(a0,b0).ab=0【即时应用】(1)思考：对于实数a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0，而对于向量a,b，若ab=0，则一定有a=0或b=0吗？提示：不一定，因为当a0且b0时，若ab，也有ab=0(2)思考:(ab)c=a(bc)成立吗？提示：不一定成立.(ab)c表示一个与c共线的
8、向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，又c与a不一定共线，上式不一定成立.(3)已知向量a与b的夹角为120，且a=b=4，那么b(2a+b)等于_【解析】b(2a+b)=2ba+b2=244cos120+42=0答案：0(4)a,b是两个非零向量，现给出以下命题：ab0a,b0,);ab=0a,b=;ab0cosa,b0a,b0,);ab=0cosa,b=0a,b=;ab0cosa,b|b|时成立，故不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故不正确；由1知，三点不共线，故不正确综上可得正确答案：4.(2012兰州模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1BC1,求证:AB1A1C.【证明】方法一:取建立基底.则由AB1BC1(a+c)c+(b-a)=0,c2-a2=0,AB1A1C.方法二:根据题意,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设AB=a,AA1=b,则A(0,0,0),C(0，a,0),B1(a,a,b),B(a,a,0),C1(0,a,b),A1(0,0,b),由AB1BC1AB1BC1=0,即b2=a2,AB1A1C.
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