1、第三节平行关系三年8考高考指数:1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.1对线线平行、线面平行和面面平行的考查是高考的热点；2平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现，考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解和运用，题目难度较小；3平行关系的证明及运用，多以解答题的形式出现，主要考查有关定理、性质的运用及各种平行关系的相互转化，题目有一定的综合性，常与垂直的证明、空间角的求法及空间向量结合在一起考查，属低中档题1.直线与平面平行的判定与性质【即时应用】(1)已知直线a,
2、b和平面，判断下列命题的正确性.(请在括号中填写“”或“”)若ab,a ,则b ()若ab,a,则b ()若a,b,则ab ()(2)在正方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有_个.(3)如图，在空间四边形ABCD中，MAB,NAD,且则直线MN与平面BDC的位置关系是_.【解析】(1)中直线b在内时不成立；b可能在内；a,b可以平行、相交或异面.(2)借助正方体的直观图易知,在正方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有2个.(3)由得MNBD，又MN 平面BDC，BD 平面BDC，所以MN平面BDC答案：(1)(2)2 (3)平行2.平面与平面平行的判定与性质判定定理性质定理文字语言图形语言
3、如果一个平面内有两条_都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.相交直线如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线_.平行判定定理性质定理符号语言bba【即时应用】(1)思考：能否由线线平行推证面面平行？如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面一定平行吗？提示：可以，只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两平面平行不一定平行如果这无数条直线互相平行，则这两个平面就可能相交(2)已知两平面与平行，a ，判断下列命题的正确性(请在括号中填写“”或“”).a与内的所有直线平行()a与内的无数条直线平行()a与内的任何一条直线都不垂直()a与无公共
4、点()【解析】中，a与内的直线可能平行或异面，故不正确；过a作平面交平面于直线b，则ab，故直线a平行于平面内所有与直线b平行的直线，故正确；中，a可以与内的直线垂直，故不正确；由,a 可得a，故正确.答案：(3)设,是两个不重合的平面，a,b是两条不同的直线，给出下列条件：,都平行于直线a,b；a,b是内两条直线，且a,b；若a,b相交，且都在,外，a,a，b,b其中可判定的条件的序号为_.【解析】、中的平面可能平行、相交，故不正确；因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据a，b，可得，同理可得，因此，故正确答案：线面平行的判定及性质【方法点睛】1.证明线面平行的方法(1)利用定义：证明直线
5、与平面没有公共点(一般结合反证法进行)；(2)利用线面平行的判定定理；(3)利用面面平行的性质，即两平面平行，则其中一平面内的直线平行于另一平面2.线面平行的性质(1)定义：直线与平面平行，则该直线与平面无公共点.(2)由线面平行可得线线平行.【提醒】利用线面平行的性质和判定定理时，适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法【例1】(1)若一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线的位置关系是_.(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN求证：MN平面AA1B1B【解题指南】(1)把文字叙述转化为符号叙述.然后利用线面平行的性质，把线面平
6、行转化为线线平行.(2)“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的本题可以采用任何一种转化方式证明【规范解答】(1)已知a，a，=l，设过a的平面=m,a，am.设过a的平面=n,a,an,mn.n,m,m.又m,=l,ml.al.答案：平行(2)方法一：如图所示，作MEBC交BB1于E；作NFAD，交AB于F，连接EF则在正方体ABCDA1B1C1D1中，CM=DN，BD=B1C，B1M=NB，又BD=B1C，又BC=AD，ME=NF.又MEBCADNF.四边形MEFN为平行四边形，MNEF.又EF 平面AA1B1B，MN平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.方法二：过M作M
7、QBB1交BC于Q，连接NQMQ平面AA1B1B，BB1 平面AA1B1B，MQ平面AA1B1B由MQBB1得又CM=DN，CB1=DB，NQDC，NQAB，NQ平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，NQ平面ABB1A1又MQNQ=Q，平面MQN平面ABB1A1,又MN 平面MQN，MN平面AA1B1B【反思感悟】1.证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行2.应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线面面平行的判定和性质【方法点睛】1.面面平行的判定方法(1)利用定义：
8、即证两个平面没有公共点；(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行；(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行2.面面平行的性质(1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面.(2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行.【提醒】三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向【例2】如图，已知，异面直线AB、CD和平面、分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：(1)E、F、
9、G、H共面；(2)平面EFGH平面ACDBEFGH【解题指南】(1)证明四边形EFGH为平行四边形即可；(2)利用面面平行的判定定理，转化为线面平行来证明【规范解答】(1)E、H分别是AB、DA的中点，EH BD.同理，FG BD，FG EH四边形EFGH是平行四边形，E、F、G、H共面(2)平面ABD和平面有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD，ADBD.又BDEH，EHBDAD.EH平面，同理，EF平面，又EHEFE，EH 平面EFGH，EF 平面EFGH，平面EFGH平面【反思感悟】1.线面、面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查，解题中要注意性质和判定交替应用2.利用判定或性
10、质解题时，应注意解题过程的规范性，即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容平行关系中的计算问题【方法点睛】平行关系中范围问题的解答策略解答立体几何中的有关最值或范围问题，常用函数思想解决，通过设出适当的变量、建立函数关系，转化为求函数的最值(或值域)的问题解题时要弄清哪些是定值，哪些是变量，如何根据题意建立函数关系，如何求函数的最值等【例3】(1)如图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.设AF交于M，AC与DF不平行，与间距离为h，与间距离为h，则当BEM的面积最大时(2)(2012合肥模拟)如图所示，四边形EFGH所在平面为三棱锥ABCD的一个截
11、面，四边形EFGH为平行四边形求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围【解题指南】(1)由面面平行得到线线平行，进而得到各线段间的关系，结合三角形的面积公式求解即可；(2)证明AB，CD各平行于平面EFGH内的一条直线即可；设EF=x，用含x的式子表示四边形EFGH的周长，转化为求关于x的函数的值域【规范解答】(1)由题意知BMCF，据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x(1x)的最值即可，显然当时，y=x2+x有最大值.当即在,
12、两平面的中间时，SBEM最大.答案：(2)四边形EFGH为平行四边形，EFGHHG 平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABDEF 平面ABC，平面ABD平面ABC=AB,EFAB,EF 平面EFGH，AB平面EFGH,AB平面EFGH.同理可得CD平面EFGH设EF=x(0 x4)，四边形EFGH的周长为l由知EFAB，则又由同理可得CDFG,则从而四边形EFGH的周长又0 x4，8l12即四边形EFGH周长的取值范围为(8,12)【反思感悟】解决立体几何中范围(或最值)问题的关键是如何确定变量及如何建立关系式，求最值的常用方法是运用函数或利用基本不等式，解题中需注意函数的定义域及基本不等式
13、成立的条件.【满分指导】证明平行关系的答题规范【典例】(12分)(2012南通模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1,AA1=2，E为棱CC1的中点(1)求证：AC平面B1DE；(2)求三棱锥ABDE的体积【解题指南】(1)利用面面平行证明线面平行；(2)确定三棱锥的底面及高，根据公式求解【规范解答】(1)取BB1的中点F，连接AF、CF、EF1分ABCEFDA1D1C1B1E、F分别是CC1、BB1的中点，CE B1F，四边形B1FCE是平行四边形，CFB1E3分E、F是CC1、BB1的中点，EF BC，又BC AD，EF AD四边形ADEF是平行四边形，5分AFED，AFCF=F,B1E
14、ED=E，平面ACF平面B1DE7分又AC 平面ACF，AC平面B1DE8分(2)由条件得VABDE=VEABD=11分即三棱锥ABDE的体积为12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)对证明平行的方法不熟练，不能熟练地运用转化的方法解题；(2)解题过程不规范，如在证明面面平行时，忽视对“一平面内的两条相交直线”的条件的叙述备考建议从近几年的高考来看，对立体几何解答题的考查的难度逐步降低，一般以低中档题的形式考查，因此在备考时要高度关注基础知识，避免不必要的失分以下几点还应注意：(1)重视知识间的相互转化，如能
15、熟练地将空间中的线线、线面、面面间的问题相互转化，以达到解决问题的目的；(2)重视解题规范性的训练，强化解题步骤的完整性和严谨性，避免不必要的失分；(3)重视立体几何中通过构造模型解题的训练和计算能力的培养1.(2012珠海模拟)对于平面、和直线a、b、m、n，下列命题中是真命题的是()(A)若am，an,m ,n ，则a(B)若ab,b ,则a(C)若a ,b ,a,b,则(D)若,=a,=b,则ab【解析】选D.对于A，只有当m,n相交时，a;对于B，还可能a ;对于C，只有当a,b相交时，,故选D.2.(2012遵义模拟)已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：若m,n,则mn;若m,n
16、,则nm;若m,m,则.其中真命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.对于,m、n可能平行、相交或异面，正确，所以真命题的个数是2.3.(2011福建高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.【解析】EF平面AB1C，EF 平面ADC，平面ADC平面AB1C=AC，EFAC，又E为AD的中点，F为CD的中点，EF为ADC的中位线，又正方体的棱长为2，答案：4.(2011山东高考改编)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EFAB，FGBC，EGAC,AB=2EF，若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE【证明】因为EFAB，FGBC，EGAC，所以ABCEFG，由于AB=2EF，因此，BC=2FG，连接AF，由于FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且因此FGAM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA又FA 平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE
