1、第二节空间几何体的表面积与体积三年22考高考指数:了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）1.从近几年的高考来看，本节内容成为高考的一个热点，主要考查：（1）常见几何体的侧面积、表面积与体积；（2）结合三视图求空间几何体或简单组合体的表面积或体积2.从考查形式上看，多以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题的形式出现，难度不大，属容易题3.本部分内容的难点是与球有关的组合体问题1.空间几何体的侧面积和表面积(1)简单几何体的侧面展开图的形状圆台扇环直棱柱矩形ccrrlhc正n棱锥n个全等的等腰三角形正n棱台n个全等的等腰梯形chh侧面展开hhcc侧面展开(2)多面体的
2、侧面积和表面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和(3)旋转体的侧面积和表面积若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧=_,S表=_=_.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧=_,S表=_=_.若圆台的上下底面半径分别为r,r，则S侧=_,S表=_.若球的半径为R，则它的表面积S=_.2rl2r2+2rl2r(r+l)rlr2+rlr(r+l)(r+r)l(r2+r2+rl+rl)4R2【即时应用】(1)思考：四棱柱、四棱锥、四棱台是由多少个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？提示：四棱柱是由6个平面图形围成的多面体，它的展开
3、图是4个平行四边形及两个全等的四边形；四棱锥是由5个平面图形围成的多面体，它的展开图是4个共顶点的三角形及一个四边形；四棱台是由6个平面图形围成的多面体，它的展开图是4个梯形及两个相似的四边形.(2)棱长为2的正四面体的表面积为_【解析】正四面体的表面积为答案：(3)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积=_cm2.【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面半径为3，母线长l=5,S侧=235=15(cm2).答案：152.几何体的体积公式几何体名称体积棱（圆）柱V=_,（S为底面面积，h为高）棱（圆）锥V=_，（S为底面面积，h为高）棱（圆）台V=_,(S,S为上、下底
4、面面积，h为高)球V=_，（R为球半径）Sh【即时应用】(1)已知正方体外接球的体积是那么正方体的棱长为_.(2)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是_.【解析】(1)设正方体的棱长为a,外接球的半径为R，则由题意知R=2，(2)由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为3，V=V正方体+V正四棱锥=答案：(1)(2)30几何体的展开与折叠【方法点睛】1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离2.解决折叠问题的技巧解决折叠问题时，要分清
5、折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化【提醒】对折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化【例1】(1)(2012南京模拟)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.【解题指南】(1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解决；(
6、2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，用相关公式可求得体积【规范解答】(1)将正三棱柱沿棱AA1两次展开，得到如图所示的矩形，可知最短路线长为矩形的对角线长，从而所求最短路线的长为答案：13(2)由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为连接顶点和底面中心即为高，可得高为所以体积为答案：【反思感悟】1.求几何体表面上两点间的最短距离问题的特点是：图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上，解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决2.折叠问题是立体几何中常见的题型，几何体的展开与平面图形的折叠，体现了空间图形与平面图形的转化
7、，是解决立体几何问题时常用的方法几何体的表面积【方法点睛】1.几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(3)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.2.旋转体侧面积的求法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积
8、还应注意重合部分的处理.【例2】(1)(2011北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()(A)32 (B)(C)48 (D)(2)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.【解题指南】(1)由三视图得到几何体的形状，然后根据图中数据及面积公式计算表面积即可(2)先将三视图还原为实物图，并画出直观图，然后将三视图中的条件转化到直观图中求解.【规范解答】(1)选B.画出该几何体的直观图如图所示可得斜高为表面积为(2)由三视图知，该几何体由上、下两个长方体组合而成.下面长方体的长、宽、高分别为8，10，2；上面长方体的长、宽、高分别为6，2，8，如图，S表=2108+2(
9、8+10)2+2(2+6)8=360.答案：360【反思感悟】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和2.注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的,解题中要注意将空间图形转化为平面图形这一方法的运用.几何体的体积【方法点睛】1.求几何体体积的思路(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解2.柱体、锥体、台体
10、的体积公式之间的关系,可表示为【提醒】在立体几何的计算题中，要有必要的推理【例3】(1)(2011新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_.(2)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形求该几何体的体积V；求该几何体的侧面积S【解题指南】(1)画出组合体的截面图，利用直角三角形中的边角关系求圆锥底面圆的圆心与球心的距离即可.(2)根据三视图可得到几何体的直观图，结合相应数据及公式求解
11、即可【规范解答】(1)如图，设球的半径为R，圆锥底面圆的半径为r,则依题意得即OCO=30,OO=R,AO=R-R,BO=R+R,答案：(2)由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为因此【反思感悟】1.求几何体的体积关键是确定几何体的形状及相关数据，利用公式求解.2.求与球有关的组合体的体积时，常遇到的困难是弄不清几何体中元素与球半径的关系，这往往会导致解题错误.【易错误区】求球的组合体体积时的易错点【典例】(2011
12、辽宁高考)已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=2,ASC=BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为()【解题指南】根据所给条件画出图形，将三棱锥S-ABC分为上下两部分，结合三棱锥的体积公式求解.【规范解答】选C.如图，由题意可知，在三棱锥S-ABC中，SAC和SBC都是等腰直角三角形，其中AB=2，SC=4，SA=SB=AC=BC=取SC的中点D，易得SC平面ABD.故所求棱锥S-ABC的体积等于以ABD为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC，故VS-ABC=【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时
13、容易出错的主要原因有：(1)不能合理地画出图形、不能将所给条件转化到三棱锥中；(2)不能将三棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积之和来处理.备考建议由于近几年的高考加强了对几何体体积、面积的考查，在备考中要注意：(1)加强对常见几何体的有关计算的训练，熟练掌握常见几何体的面积及体积的求法；(2)对于一些复杂的几何体，要善于将其转化为规则的几何体进行求解；(3)要重视对计算能力的训练与培养，以适应高考的需要.1.(2011湖南高考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()【解析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为的球，下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱，故其体积为2.(2011
14、陕西高考)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()【解析】选A.由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，是由一个正方体中间挖去一个圆锥后得到的，所以它的体积是3.（2012邵阳模拟）一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长都是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于()(A)2+(B)3+(C)4+(D)6【解析】选B.原几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面三角形的边长分别是1,1,，高为1,所以表面积S=(1+1+)1+211=+3.4.(2011天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.【解析】由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，其中下面是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体，上面是一个长、宽、高分别为1、1、2的长方体，所以所求的体积是：V=211+112=4.答案：45.(2011福建高考)三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_.【解析】由题意得，答案：
