1、第七节数学归纳法三年3考高考指数:1.了解数学归纳法的原理及其使用范围；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.归纳猜想证明仍是高考的重点；2.常与函数、数列、不等式、平面几何等知识结合，在知识交汇处命题；3.题型以解答题为主，难度中等偏上.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤:(1)(归纳奠基)证明当n取_(n0N+)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN+)时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0n=k+1【即时应用】判断下列各说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)用数
2、学归纳法验证第一个值n0,则n0必定为1.()(2)数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.()(3)应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时，第一步是检验n等于3.()(4)用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+3-1”时，验证n=1时,左边式子应为1+2+22.()【解析】(1)错误.有些数学归纳法证明题，第一步验证初始值不是1，可能为2，3，4等.(2)正确.数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推.(3)正确.第一步检验n=3,即三角形的对角线条数为0.(4)错误.验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.答案：(1)(2)(3)(4)用数学
3、归纳法证明等式【方法点睛】用数学归纳法证明等式的规则(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据.(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少,同时第二步由n=k到n=k+1时要充分利用假设，不利用n=k时的假设去证明，就不是数学归纳法.【例1】(2012烟台模拟)是否存在常数a,b,c，使得等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.【解题指南】本题是开放式、存在性的问题，一般是先假设存
4、在，利用特值求得a、b、c的值，而后用数学归纳法证明.【规范解答】假设存在a、b、c使得所给等式成立.令n=1,2,3代入等式得解得以下用数学归纳法证明等式(n2-12)+2(n2-22)+n(n2-n2)对一切正整数n都成立.(1)当n=1时，由以上可知等式成立;(2)假设当n=k时，等式成立，即(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)则当n=k+1时，(k+1)2-12+2(k+1)2-22+k(k+1)2-k2+(k+1)(k+1)2-(k+1)2=(k2-12)+2(k2-22)+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+k(2k+1)由(1)、(2)知，等式对一切正整
5、数n都成立.【反思感悟】1.对于开放式的与n有关的等式证明问题，一般是先假设结论成立，利用n的前几个取值求参数，而后用数学归纳法证明.2.在使用数学归纳法的第二步进行证明时，事实上，“归纳假设”已经成了已知条件，“n=k+1时结论正确”则是求证的目标，可先用分析法的思路，借助已学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形，把待证的目标拼凑出归纳假设的形式，再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.用数学归纳法证明不等式问题【方法点睛】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成
6、立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.【例2】由下列不等式：,你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.【解题指南】由已知条件不难猜想到一般不等式，关键是证明，证明时由n=k到n=k+1时可采用放缩法.【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1 ,猜想成立；(2)假设当n=k时，猜想成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，猜想也正确，所以对任意的nN+，不等式都成立.【反思感悟】1.本例在由n=k到n=k+1这一步变化中，不等式左边增加了即增加了2k项，
7、这一点很关键，若项数写不正确，该题的证明将无法正确得出.2.当n=k+1时的证明中采用了放缩法，即将已知式子分母变大，从而所得结果变小，顺利地与要证的式子接轨从而得以证明，此种方法是证明不等式的常用方法，应用时要注意是放大还是缩小.归纳猜想证明类问题【方法点睛】归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【例】(2012南京模拟)已知数列an满足Sn+an
8、=2n+1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【解题指南】(1)利用Sn=a1+a2+an,且Sn+an=2n+1,代入n=1,2,3得a1,a2,a3，从而猜想an.(2)应用数学归纳法证明时，要利用n=k的假设去推证n=k+1时成立.【规范解答】(1)将n=1,2,3分别代入可得(2)由(1)得n=1时，命题成立；假设n=k时，命题成立，即那么当n=k+1时，a1+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+ak=2k+1-ak,2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,2ak+1=2+2-,ak+1=2-,
9、即当n=k+1时，命题也成立.根据、得,对一切nN+,an=都成立.【反思感悟】“归纳猜想证明”是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，此种方法在解探索性问题、存在性问题时起着重要的作用，特别是在数列中求an,Sn时更是应用频繁.【满分指导】数学归纳法解答题的规范解答【典例】(13分)(2012泉州模拟)设数列an的前n项和为Sn,并且满足2Sn=+n,an0(nN+).(1)猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明.(2)设x0,y0,且x+y=1,证明：【解题指南】(1)将n=1,2,3代入已知等式得a1,a2,a3，从而可猜想an,并用数学归纳法证明.(2)利用分析法，结合x0,
10、y0,x+y=1,利用基本不等式可证.【规范解答】(1)分别令n=1,2,3,得an0,a1=1,a2=2,a3=3.猜想：an=n.2分由2Sn=+n 可知，当n2时，2Sn-1=+(n-1)-,得即3分()当n=2时，=2a2+12-1,a20,a2=2.4分()假设当n=k(k2)时，ak=k,那么当n=k+1时，ak+1-(k+1)ak+1+(k-1)=0,ak+10,k2,ak+1+(k-1)0,ak+1=k+1.即当n=k+1时也成立.6分an=n(n2).显然n=1时，也成立，故对于一切nN+，均有an=n.7分(2)要证只要证 8分即n(x+y)+2+2(n+2),将x+y=1
11、代入，得即只要证4(n2xy+n+1)(n+2)2,即4xy1.10分x0,y0,且x+y=1,即xy ,故4xy1成立，所以原不等式成立.13分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分:(1)在代入n=1,2,3时，不能准确求得a1,a2,a3，从而猜想不出an.(2)证明不等式时，不会应用x+y=1这一条件代换，导致无法证明不等式成立.备考建议解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明n=k到n=k
12、+1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.1.(2012南阳模拟)用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(nN+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是()(A)1 (B)1+2(C)1+2+3 (D)1+2+3+4【解析】选D.当n=1时，左边是1+2+3+4，是由1加到n+3，故选D.2.(2012上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)，从k到k+1，左边需要增乘的代数式为()(A)2k+1 (B)2(2k+1)(C)(D)【解析】选B.当n=k时，左边为(k+1)(k+2)(k+k),而当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)，左边增乘的式子为3.(2012盐城模拟)利用数学归纳法证明不等式的过程中，用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为_.【解析】当n=k时，左边的代数式为而当n=k+1时，左边的代数式为相减是答案：
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