1、第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题内容要求ABC线性规划高考指数:1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式表示的平面区域.直线y=kx+b把平面分成两个区域,ykx+b表示的平面区域在_.ykx+b表示的平面区域在_.直线的上方直线的下方(2)选点法确定二元一次不等式表示的平面区域的步骤.第一步：任选一个_；第二步：检验它的坐标是否满足所给的不等式；第三步：若适合，则该点所在的一侧为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为不等式所表示的平面区域.(3)二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示的平面区域的_.不在直线上的点公共部分【即时应用】(1)如图
2、所表示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_.(2)以下各点(0,0);(-1,1);(-1,3);(2,-3);(2,2)在x+y-10所表示的平面区域内的是_(填序号).(3)设点P(x,y)，其中x，yN，满足x+y3的点P的个数为_.【解析】(1)由图可知边界直线过(-1,0)和(0,2)点,故直线方程为2x-y+2=0.又(0,0)在区域内,故区域应用不等式表示为2x-y+20.(2)将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)满足不等式,故在平面区域内.(3)当x=0时，y可取0，1，2，3,有4个点；当x=1时，y可取0，1，2,有3个点；当x=2时，y可取0，1,
3、有2个点；当x=3时，y可取0,有1个点,故共有10个点.答案：(1)2x-y+20 (2)(3)102.线性规划的基本概念名称定义约束条件目标函数可行域最优解线性规划问题变量x,y满足的一次不等式（组）欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的线性函数约束条件所表示的_使目标函数取得最大值或最小值的_在线性约束条件下，求线性目标函数的_或_问题平面区域可行解最大值最小值【即时应用】(1)思考：可行解与最优解有何关系？最优解是否惟一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定惟一，有时惟一，有时有多个.(2)思考：点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=
4、0的两侧的充要条件是什么？提示：(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0.(3)已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围是_.【解析】点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则(-9+2-a)(12+12-a)0.即(a+7)(a-24)0,-7a24.答案：-7a24二元一次不等式(组)表示的平面区域【方法点睛】1.二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B不为0)及点P(x0,y0),则(1)若B0,Ax0+By0+C0,则点P在直线的上方,此时不等式Ax+By+C0表示直线
5、Ax+By+C=0的上方的区域.(2)若B0,Ax0+By0+C0,则点P在直线的下方,此时不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域.(注：若 B为负,则可先将其变为正)(3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分.2.求平面区域的面积的一般思路求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.【例1】已知不等式组(1)画出该不等式组所表示的平面区域；(2)设该平面区域为S,求当a从-3到6连续变化时，x-y=a扫过S中的那部分区域的面积.【解题指南】(1)先画出各个不等式对应的直线(画成实线),再通过测试点确定区域.(2)通过
6、直线变动确定扫过的图形形状再求面积.【规范解答】(1)不等式x-y+50表示直线x-y+5=0上的点及右下方的点的集合，x+y0表示直线x+y=0上的点及右上方的点的集合，x3表示直线x=3上及其左方的点的集合.不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域.O-5x3C(3,-3)A(3,8)B(,)x=3x+y=0 x-y+5=0y(2)由题意可知x-y=a扫过S的部分区域如图所示：DC=9,CDE的边CD上的高为3+=,所求区域的面积9 =.xyox+y=0 x=3x-y=-3C(3,-3)D(3,6)E【反思感悟】1.作平面区域的一般思路作平面区域时要“直线定界,测试点定域”,同时注意不等
7、式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点.2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解.求目标函数的最值【方法点睛】1.求目标函数最值的步骤第一步：画出约束条件对应的可行域.第二步：将目标函数视为动直线，并将其平行经过可行域，找到最优解对应的点.第三步：将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.2.目标函数最值问题分析线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.【例2】(2012南通模拟)动点P(a,b)在不等式组表示的平
8、面区域内部及其边界上运动.(1)求z=x+2y的最大值;(2)求=的取值范围.【解题指南】(1)作出可行域与直线x+2y=0观察确定最优解.(2)将变形为=1+，从而求得的范围可得的范围.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由得A(1,1).(1)由z=x+2y得y=-x+,经过A点时z取最大值.zmax=1+21=3.(2)由=先需求得的范围.P(a,b)在平面区域内部及其边界上运动,故阴影区域即为P满足的区域.由可视为区域内的部分与C(1,2)点的连线的斜率,kOC=2,kBC=-2,2或 -21+3或1+-1，故3或-1.故=的取值范围是(-,-13,+).【反思感悟】
9、1.求目标函数的最值或范围，关键是确定可行域再将目标函数所表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的点便是最优解.2.对于目标函数具有明确的几何意义或变形后有明显的几何意义，关键是确定其几何意义是什么，是斜率，还是距离等.线性规划的实际应用【方法点睛】线性规划的实际应用问题的解法步骤解决线性规划问题的一般步骤为：作图平移求值画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置解方程组求出A点的坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值【例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单
10、位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解题指南】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解.【规范解答】方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足作出线性约束条件所表示的可行域,如
11、图中阴影部分的整数点,3x+5y=27yO12345678910 x12345678910 x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBA让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足3x+5y=27yO12345678910 x12345678910 x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBA作出线性约束条件所表示的可行域,如
12、图中阴影部分的整数点,z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是zA=2.59+40=22.5,zB=2.54+43=22,zC=2.52+45=25,zD=2.50+48=32.经比较得zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.【反思感悟】解线性规划的实际应用问题,关键是正确理解题意，最好将题目中的已知条件用表格形式呈现，来明确它们之间的关系,这样能方便写出线性约束条件及目标函数.【易错误区】忽视题目中的约束条件致误【典例】(2011湖南高考)设m1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为_.
13、【解题指南】由已知条件作出可行域,注意已知中m1的条件，可以利用一个特值如m=2作出可行域而后利用目标函数直线过哪一点取最大值，可求解.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,把目标函数化为y=-x+,显然只有y=-x+在y轴上的截距最大时z的值最大,根据图形,目标函数在点A处取得最大值,由得A(),代入目标函数,即=4,解得m=3.1yox1y=mxy=xy=x+y=1A答案：3【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议：误区警示解答本题时有两点误区造成失分：(1)忽视条件m1，不能正确画出可行域；(2)找错最值点,不能正确解出最值点坐标,从而
14、代入求解失误.备考建议解决含参数的线性规划问题，要对以下问题高度关注：(1)解题时要看清题目,不能忽视或漏掉参数的范围;(2)对于题目中最值条件的确定至关重要，且不能计算出错.1.(2011安徽高考改编)设变量x,y满足,则x+2y的最大值和最小值分别为_，_.【解析】x+y=1,x-y=1,x=0三条直线两两相交的交点分别为(0,1),(0,-1),(1,0)，画出可行域(图略)可知,分别在点(0,1),(0,-1)得到最大值2,最小值-2.答案：2 -22.(2011福建高考改编)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是_.【解析】由题意,
15、不等式组表示的平面区域如图所示：由数量积的坐标运算易得：-x+y,令-x+y=z,即y=x+z,易知目标函数y=x+z,过点B(1,1)时,zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时，zmax=2,故的取值范围是0,2.答案：0,23.(2011陕西高考)如图,点(x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x-y的最小值为_.【解析】目标函数z=2x-y,移动直线2x-y=0,当直线移动到过点A的位置时,z的值最小,此时z=21-1=1.答案：14.(2012扬州模拟)已知z=2x-y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为_.【解析】作出可行域如图所示：当目标函数过B点时，z最大.由得B(2，-1)，zmax=22-(-1)=5.答案：5
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