1、第二节一元二次不等式三年19考高考指数:1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图像与性质等知识；2.以集合为载体，考查一元二次不等式的解法及集合的运算；3.以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；4.以选择题、填空题为主，有时穿插于解答题中考查，难度中等.1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系【即时应用】(1)思考：
2、不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为R的条件是什么？不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为的条件是什么？提示：(2)不等式x2-3x+20的解集为_.【解析】原不等式等价于(x-1)(x-2)0,即1x2.答案：(1,2)(3)设一元二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x,则ab的值为_.【解析】由题意可知a0,且-1,是方程ax2+bx+1=0的两个根.故解得 ab=6.答案：6(4)函数y=的定义域是_.【解析】由x2+x-120,即(x+4)(x-3)0,得x-4或x3.答案：(-,-43,+)2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解过程【即时应用】思考：上述不等
3、式中a0,若a0时解集的情况又将如何？提示：若a0,则一般先将不等式进行转化，使x2的系数转化为正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，0时解集为,0时解集为x|x1xx2.一元二次不等式、简单的高次不等式及分式不等式的解法【方法点睛】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集.注意：也可以这样解一元二次不等式，首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能，则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间；若不能，当0时，利用求根公式
4、求解方程的根，然后写出解集.2.用“穿针引线法”解高次不等式的步骤(1)将原不等式化为(或3(2)解不等式:(x+4)(x+5)2(2-x)0.(3)解不等式:.(4)解不等式:12x2-axa2(aR).【解题指南】(1)对x分x0、x3变成两个不等式组.(2)是一元高次不等式，可用“穿针引线法”求解.(3)可由分式不等式转化为整式不等式求解.(4)将不等式转化后进行因式分解，比较两根大小分类求解.【规范解答】(1)因为所以f(x)3或或或所以原不等式的解集为x|x1.(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)0,可用“穿针引线法”(如图所示)原不等式解集为x|x-5或-5x2.(
5、3)原不等式等价于 0 0 0 0用“穿针引线法”可得原不等式解集为(-，-2)-1，2)6，+).(4)原不等式可化为12x2-ax-a20(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0得x1=-,x2=.a0时,-,此时不等式等价于x-或x.a=0时,此时不等式等价于x20 x0.a0时,-,此时不等式等价于x或x-.综上所述,当a0时,不等式的解集为(-,-)(,+);当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为(-,)(-,+).【反思感悟】1.对于本例(4)中分类讨论后,在写不等式解集时,也可以将a=0的情况与a0或a0结合起来写.如可写为a0
6、时不等式的解集为(-,-)(,+),a0时不等式的解集为(-,)(-,+).2.含参数的不等式解法：解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次，一般按下列次序进行讨论：(1)根据二次项系数的符号进行分类，(2)根据根是否存在，即的符号进行分类，(3)若根存在时，根据根的大小进行分类讨论.讨论时对字母的范围需要做到不重不漏.一元二次不等式恒成立问题【方法点睛】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴
7、上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.(3)一元二次不等式恒成立的条件ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0(xR).ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b2-4ac0(xR).【例2】已知不等式mx2-2x-m+10，(1)若对任意实数x不等式恒成立,求m的取值范围.(2)若对一切m-2,2不等式恒成立,求x的取值范围.【解题指南】(1)讨论m的情况,结合二次函数图像求解.(2)变换主元将其看成关于m的一元一次不等式,利用其定义范围-2,2求参数x的取值范围.【规范解答】(1)不等式mx2-2x-m+10恒成立,即函数
8、f(x)=mx2-2x-m+1的图像全部在x轴下方.当m=0时,不等式变为1-2x0，对任意实数x不恒成立,故m0不满足；当m0时,函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数,需满足图像开口向下且方程mx2-2x-m+10无解,则m无解.综上可知不存在符合条件的m使不等式恒成立.(2)设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),当x2-1=0时，即x=1,检验得x=1时符合题意,当x21时,则其为一个以m为自变量的一次函数,其图像是直线,由题意知该直线当-2m2时在x轴下方,即解,得x或x,解,得x.由,得x,且x1,综上得x的取值范围为x|x.【反思感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路
9、：(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图像,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.一元二次不等式的实际应用【方法点睛】解不等式应用题的一般步骤阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果读建解答【例3】汽车在行驶中,由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个
10、限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？【解题指南】由题意只需利用刹车距离与车速的关系，与实际刹车距离构建不等关系求解即可.【规范解答】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x212,即x2+10 x-1 2000,解得x30,或x-40(不合实际意义,舍去).这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据
11、题意刹车距离略超过12 m,由此估计甲车车速没有超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x210,即x2+10 x-2 0000,解得x40,或x-50(不合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.【反思感悟】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的交通事故责任调查与取证的问题,其关键是正确确定不等关系.【创新探究】一元二次不等式在二元二次方程中的应用【典例】(2011浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy1,则x+y的最大值是_.【解题指南】本例可令x+y=t，利用直线与曲线必有交
12、点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解.【规范解答】方法一：令x+y=t,则y=t-x，代入x2+y2+xy=1，整理得：x2-tx+t2-1=0,则方程必有实根，即=t2-4(t2-1)0,即t2 ,解得-t ,故x+y的最大值为.方法二：由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy,(x+y)2=1+xy1+,即(x+y)2 ,故-x+y ,x+y的最大值为.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨与备考建议：创新点拨本题主要有以下创新点：(1)结合不等式与解析几何及方程综合命制,把对一元二次不等式的考查以新的形式呈现，具有知识交汇、解
13、法新颖的特点；(2)通过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等式求解.备考建议关于本类问题的解法，主要有以下备考建议：(1)在解决此类不等式与方程与解析几何结合的综合问题时，要明确已知什么，求什么,应用到哪一块知识，采取何种方法,从而进行有效转化求解.(2)对于创新型命题,要抓住其万变不离其宗的特点,善于揭去其神秘的面纱，与已学的基础知识联系起来，如本例通过换元把问题转化为最基本的一元二次不等式问题求解.1.(2011山东高考)设集合Mx|(x+3)(x-2)0,N=x|1x3,则MN=()(A)1,2)(B)1,2(C)(2,3 (D)2,3【解析】选A.由集合Mx|(x+3)(x-2)0
14、=x|-3x2,集合Nx|1x3,MN=x|1x2,即为1,2).2.(2011广东高考)不等式2x2-x-10的解集是()(A)(-,1)(B)(1,+)(C)(-,1)(2,+)(D)(-,-)(1,+)【解析】选D.由2x2-x-10得(x-1)(2x+1)0,解得x-或x1,从而得原不等式的解集为(-,-)(1,+).3.(2011福建高考)若关于x的方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(-2,2)(C)(-,-2)(2,+)(D)(-,-1)(1,+)【解析】选C.方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,=m2-40,m2或m-2.4.(2012长春模拟)已知不等式x2+ax+40，即a4或a4或a-4
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