1、第一节不等关系与不等式三年13考高考指数:1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.了解不等式(组)的实际背景；3.掌握不等式的性质及应用.1.不等式的性质是考查的重点;2.不等关系常与函数、数列、导数、几何以及实际问题相结合进行综合考查；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识的交汇则以解答题为主.1.两实数比较大小的法则关系法则ab a=b ab a-b0 a-b=0 a-b0【即时应用】(1)若a,b,cR,ab,判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写“”或“”)()a2b2 ()()(2)下列不等式中正确的是_.m-3m-5 5-m3-m5m3m 5+m5-m【解析】(1)特殊值法
2、，取a=1,b=-1,c=0可知不正确.(2)m-3-m+5=20，故正确；5-m-3+m=20，故正确；5m-3m=2m，无法判断其符号，故错；5+m-5+m=2m,无法判断其符号，故错.答案：(1)(2)2.不等式的基本性质性质内容特别提醒对称性传递性可加性可乘性abab,bcab_ _ 注意c的符号bc a+cb+cacbcacb0 ab0a,b同为正数a+cb+d_ acbdanbn_ (nN,n2)(nN,n2)【即时应用】(1)已知a、b、c、dR,且cd,则“a+cb+d”是“ab”的_条件.(2)若a0,-1b0，则a,ab,ab2的大小关系为_.(3)已知a,b,cR，有以下
3、命题：若ab,则ac2bc2;若ac2bc2,则ab;若ab,则a2cb2c.其中正确的是_(请把正确命题的序号都填上).【解析】(1)若a+cb+d,cd不妨令a=1,b=2,c=5,d=3，则上式成立，但ab，故充分条件不具备，反之，若ab,cd,则a-b0,c-d0，两式相加得a-b+c-d0，即a+cb+d，故必要条件具备，故应为必要不充分条件.(2)由已知得0b21,a0,故ab0,ab20且aab2，故aab2ab.(3)当c=0时，不正确；若ac2bc2，则c20,ab，故正确；由2c0知正确.答案：(1)必要不充分(2)aab2ab(3)3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质a
4、b,ab0_ .a0b _ .ab0,0cd _ .0axb或axb0 _ _ .(2)有关分数的性质若ab0,m0,则真分数的性质：_ ;_ (b-m0).假分数的性质：_ ;_ (b-m0).【即时应用】(1)-3与-的大小为_.(2)若0ab，c0，则与的大小关系为_.【解析】(1)-3=,又0+3+,故-3-.(2)0ab,10,又c0,1,1，故.答案：(1)(2)用不等式(组)表示不等关系【方法点睛】实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时，应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换，常见的文字语言有大于、不低于、超过、至少等.其转
5、换关系如表.文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言【例1】某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A，B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.【解题指南】这是一个二元不等关系的实际应用题，只需设出两个变量，依据题目所述条件逐一用不等式表示，然后组成不等式组即可.【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知【反思感悟】用不等式(组)表示实际问题中的不等关
6、系时，除了把文字语言“翻译”成符号语言，把握“不超过”、“不低于”、“至少”、“至多”等关键词外，还应考虑变量的实际意义，即变量的取值范围.比较大小【方法点睛】比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤是：作商；变形；判断商与1的大小；结论.(3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路，其实质就是利用特殊值判断.【提醒】用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论，从而误解.
7、【例2】(1)若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()(A)a2b2 (B)1(C)lg(a-b)0 (D)()a()b(2)已知a1,a2(0,1)，记M=a1a2,N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是()(A)MN (B)MN(C)M=N (D)不确定(3)已知ab0，比较aabb与abba的大小.【解题指南】(1)运用特殊值验证即可.(2)可用作差法求解.(3)利用作商法求解判断.【规范解答】(1)选D.令a=-,b=-1,则A、B、C均不成立，故选D.(2)选B.M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)又a1,a2(0,
8、1)，故(a1-1)(a2-1)0,故MN.(3)，又ab0,故1,a-b0,1,即1,又abba0,aabb与abba的大小关系为：aabbabba.【反思感悟】1.作差比较法的目的是判断差的符号，而作商比较法的目的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形.2.当两个代数式为多项式形式时，常用作差法比较大小.当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时，常用作商比较法.不等式性质的应用【方法点睛】1.不等式性质的应用类型分析不等式的性质应用非常广泛:(1)与常用逻辑用语结合考查充要条件，(2)应用性质比较大小，(3)求范围，并且求参数范围问题是考查的热点问题，它常与三角函数等结合考查.2.形如F(x
9、,y)的取值范围的求解由af(x,y)b,cg(x,y)d,求F(x,y)的取值范围，可利用待定系数法求解，即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),利用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.【例3】(1)(2011浙江高考)若a、b为实数，则“0ab1”是“a或b”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1f(-1)2,2f(1)4，求f(-2)的取值范围.【解题指南】(1)利用不等式的基本性质进行判断.(2)利用待定系数法寻找f(-2)与f(-1)，f(1)之间
10、的关系，即用f(-1)，f(1)整体表示f(-2)，再利用不等式的性质求f(-2)的取值范围.【规范解答】(1)选A.0ab1可分为两种情况:当a0,b0时，由0ab1两边同除以b可得a;当a0,b0时，两边同除以a可得b.“0ab1”是“a或b”的充分条件，反之，当a或b时，可能有ab0,“0ab1”是“a或b”的不必要条件，故应为充分而不必要条件.(2)方法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b).即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得，解得，f(-2)=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f
11、(-1)+f(1)10,即5f(-2)10.方法二:即f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,即5f(-2)10.【反思感悟】1.判断一个与不等式有关的命题的真假，首先找到与命题相关的性质，明确不等式成立的条件，然后再判断；对于选择题、填空题要注意特殊值法的应用.2.根据不等式的性质求范围时，一定要利用不等式的性质进行变形求解，如不等式两边同乘一个含字母的式子，必须确定它的正负；同向不等式只能相加，不能相减等.同时要注意不等式性质应用的条件及可逆性.【易错误区】忽视等号成立的条件而致错【典例】(2011新课标全国卷)若变量x
12、,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为_.【解题指南】设z=x+2y=(2x+y)+(x-y)，然后利用待定系数法，求得和的值，然后通过“2x+y”和“x-y”本身的范围求得z=x+2y的范围.【规范解答】令z=x+2y=(2x+y)+(x-y)=(2+)x+(-)y,z=(2x+y)-(x-y),又32x+y9,-9-(x-y)-6,-6(2x+y)-(x-y)3,即-6z3,zmin=-6.答案：-6【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议：误区警示解答本题时有两点误区:(1)忽视条件中等号成立的条件,分别求出x、y的范围后再求x+2y的范围；(2
13、)利用待定系数法求,时计算失误.备考建议求范围及最值问题时要对以下问题高度关注：(1)解题时看清题目条件，不能忽视变量满足的约束条件；(2)题目运算过程要等价转换，转换不等价易造成失误；(3)此类问题也可寻求多种解法，如本题还可利用线性规划求解.1.(2012马鞍山模拟)已知a,b为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是()(A)a2b2 (B)(C)|a|b|(D)2a2b【解析】选D.当ba0时，a2b2不成立,故A错.若a0，b0，则B不成立.当ba0时，|a|b|不成立,故C错.由y=2x是增函数可知D正确.2.(2012潍坊模拟)已知x0,y0,xy，则下面四个数中最小的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.特值验证法，令x=1,y=2,可知 ,而32 ,故最小.故选C.3.(2012嘉兴模拟)已知a,b为实数，则“ab1”是“”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.由ab1a-1b-10 ,又当a=0,b=2时，ab1,故选A.4.(2012铜山模拟)若ab0，且，则实数m的取值范围是_.【解析】由不等式性质可知1,若m0,则，即不合题意，由，必有m0,而且b+m0,a+m0解得m-b,故-bm0.答案：(-b,0)
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