1、第一节不等关系与一元二次不等式内容要求ABC一元二次不等式三年5考高考指数:1.一元二次不等式(1)定义：只含有_个未知数，并且未知数最高次数是_的不等式.(2)一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式的解组成的集合.一2【即时应用】(1)不等式x2-3x+20的解集是_.(2)不等式2x+3-x20的解集是_.(3)不等式x-2-x2的解集是_.【解析】(1)原不等式等价于(x-1)(x-2)0,即1x2.(2)原不等式等价于x2-2x-30,即(x+1)(x-3)0,即-1x3.(3)原不等式可化为x2+x-20,即(x+2)(x-1)0.不等式的解集是-2,1.答案：(1)x|1x2 (
2、2)x|-1x3(3)-2,12.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式0=0 0）的图象一元二次方程（a0）的根（a0）的解集（a0）的解集或有两相异实数根（x1 x2）有两相等实数根R没有实数根yxOx1x2yxOx1=x2xOy【即时应用】(1)思考：不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为R的充要条件是什么？提示：(2)思考：不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为的充要条件是什么？提示：(3)设二次不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x,则ab的值为_.【解析】由题意可知a0,且-1,是方程ax2+bx+1=0的两个根.故解得,ab=6.答案：6一元二次不等
3、式的解法【方法点睛】解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.【提醒】(1)当不等式中含有字母时，需要对字母进行分类讨论.(2)若一元二次不等式中，二次项系数大于0，其两根为x1,x2，则“大于号取两边，小于号取中间”.【例1】解下列不等式：(1)x2+3x+40；(2)-3x2-2x+80；(3)12x2-axa2(aR).【解题指南】(1)先判断“”，而后获解.(2)先将x2的系数转化为正数,而后因式分解求解.(3)将不等式转化后进行因式分解,
4、比较两根大小分类讨论求解.【规范解答】(1)由=9-16=-70,故不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x2+2x-80(x+2)(3x-4)0 x-2或x ,故不等式的解集为(-,-2 ,+).(3)原不等式可化为12x2-ax-a20(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0得x1=-,x2=.a0时,-,此时不等式等价于x-或x.a=0时,不等式等价于x20 x0.a0时,-,此时不等式等价于x或x-.综上所述,当a0时,不等式的解集为(-,-)(,+);当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为(-,)(-,+).【反思感悟】1.含参数的
5、不等式解法.解含参数的一元二次不等式，一般需要分类讨论，因而需要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：(1)根据二次项系数的符号进行分类；(2)根据根是否存在，即的符号进行分类；(3)根存在时，根据根的大小进行分类；同时在讨论字母的范围时要做到不重不漏.2.对于本例(3)中分类讨论后,在写不等式解集时,也可以将a=0的情况与a0或a0结合起来写.如可写为a0时不等式的解集为(-,-)(,+),a0时不等式的解集为(-,)(-,+).一元二次不等式恒成立问题【方法点睛】恒成立问题及一元二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题首先要确定主元，其次确定参数.一般地,知道哪个变量的范围,就选
6、这个变量当主元,求哪个变量的范围,哪个变量就是参数.(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.【例2】(2012连云港模拟)已知命题p:对m-1,1，不等式a2-5a+3 恒成立；命题q:不等式x2+ax+40恒成立,若p和q都是真命题，求a的取值范围.【解题指南】分别求得p,q中a的取值范围，根据p、q均为真命题，求交集可得a的范围.【规范解答】m-1,1,2 ,3，因为对m-1,1，不等式a2-5a+3 恒成立，可得a2-5a+33,a5或a0.故命题p为真命题时，a5或a
7、0.又命题q:不等式x2+ax+40恒成立，=a2-160，-4a4.故命题q为真命题时-4a4.p和q都是真命题，a|a5或a0a|-4a4=a|-4a0,a的取值范围是-4a0.【反思感悟】解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：一是转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组)，解不等式(组)，求得参数范围；二是分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围.一元二次不等式的实际应用【方法点睛】解不等式应用题的一般步骤阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型解不等式，得
8、到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果读建解答【例3】(2012苏州模拟)又一年冬天即将来临，学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划.根据去年的统计，当热饮单价为1.5元/杯时，每日可卖出热饮800杯，且热饮单价每提高0.1元时，日销售量就降低20杯.若该热饮成本为0.9元/杯，为使今年的热饮日销售利润不低于720元，应如何控制热饮的单价？【解题指南】热饮日销售利润等于该热饮的单利润乘以销售量，因此可设该热饮的销售单价提高x元，这样根据题意，单利润就是1.5+x-0.9(元)，销售量就是800-200 x(杯)，总利润等于(1.5+x-0.9)(
9、800-200 x)(元)，可以得到不等式(1.5+x-0.9)(800-200 x)720，再解此不等式即可得出应如何控制热饮的单价.【规范解答】设该热饮的销售单价提高x元，由题意得(1.5+x-0.9)(800-200 x)720，化简，得200 x2-680 x+2400，解得0.4x3，因此热饮的单价为0.4+1.5x+1.53+1.5，即x+1.51.9，4.5.答：热饮的单价控制在1.9，4.5之间时，今年的热饮日销售利润不低于720元.【反思感悟】不等式应用题多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题,本题即是利用一元二次不等式解决现实生活中常见的销售问题,其关键是正确确定不等关
10、系.【创新探究】二元二次方程中一元二次不等式的应用【典例】(2011浙江高考)若实数x、y满足x2+y2+xy1,则x+y的最大值是_.【解题指南】本例可令x+y=t，利用直线与曲线必有交点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解.【规范解答】方法一：令x+y=t,则y=t-x，代入x2+y2+xy=1，整理得：x2-tx+t2-1=0,则方程必有实根，即=t2-4(t2-1)0,即t2 ,解得-t ,故x+y的最大值为.方法二：由x2+y2+xy=1得1=(x+y)2-xy,(x+y)2=1+xy1 ,即(x+y)2 ,故-x+y ,x+y的最大值为 .答案：【阅卷
11、人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议:创新点拨本题有以下两个创新点:(1)结合不等式与解析几何及方程综合命制,对一元二次不等式的考查以新的形式呈现.(2)本例具有知识交汇、解法新颖的特点.通过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等式求解.备考建议在解决有关一元二次不等式问题时，以下几点备考时应高度关注：(1)熟练掌握换元法的思想；(2)能将某些求最值问题转化为一元二次不等式问题或基本不等式问题；(3)对于创新型命题要与所学基础知识相联系，将个性问题转化为共性问题求解.1.(2011广东高考改编)不等式2x2-x-10的解集是_.【解析】由2x2-x-10得(x-1
12、)(2x+1)0,解得x-或x1,从而得原不等式的解集为(-,-)(1,+).答案：(-,-)(1,+)2.(2011福建高考改编)若关于x的方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_.【解析】方程x2+mx+10有两个不相等的实数根,=m2-40,m2或m-2.答案：(-,-2)(2,+)3.(2011安徽高考)函数y=的定义域是_.【解析】由6-x-x20可得x2+x-60,即(x+3)(x-2)0,所以-3x2.答案：(-3,2)4.(2012南通模拟)不等式x2-2x+3a2-2a-1在R上的解集是，则实数a的取值范围是_.【解析】由x2-2x+3=(x-1)2+22，若不等式的解集为，则只需a2-2a-12，即a2-2a-30，解得-1a3.答案：a|-1a3
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