1、第八节 正弦定理、余弦定理内 容要 求ABC正弦定理、余弦定理及其应用三年2考高考指数:2RsinA 2RsinB 2RsinC abc(3)正弦定理解决的问题：已知两角和任一边，求其他两边和另一角.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.【即时应用】(1)思考：在ABC中，sinAsinB是AB的什么条件？提示:充要条件.因为(2)在ABC中，B30，C120，则abc_.【解析】A1803012030，由正弦定理得：abcsinAsinBsinC答案：2.余弦定理(1)余弦定理文字语言符号语言推论三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍a2=b2
2、+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC(2)解决的问题：已知三边,求各角.已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_.(2)在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为_.【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为(2)由已知得b2c2a2bc，答案：3.三角形中常用的面积公式(1)(h表示边a上的高);(2)=_=_；(3)(r为三角形的内切圆半径).【即时应用】(1)在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC=_.(2)在A
3、BC中，则SABC_.【解析】(2)在ABC中，答案：利用正、余弦定理解三角形【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=；(2)0A，B，C，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【例1】根据下列条件解三角形(1)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又b4，且BC边上的高则角C=_.(2)在ABC中，已知ABC，且A=2C,b=4,a+c=8，则a=_,c=_.(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余
4、弦值是方程2x23x20的根，则第三边长是_.【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.【规范解答】(1)由于ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D点，(2)由正弦定理又A=2C,所以即由已知a+c=8=2b及余弦定理，得(3)解方程可得该夹角的余弦值为由余弦定理得：第三边长是答案：(1)60【反思感悟】解三角形的注意事项(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形时,
5、注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数absinAa=bsinAbsinAabab无解一解两解一解一解无解AabCBCAabB1B2ACaabCAabBBCABAaabbC利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛】三角形形状的判断判断三角形形状主要有两条途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，同时观察是否有等角、直角或钝角等.(2)利用正弦定理和余弦定理，化角为边，通过恒等变换，求出三边之间的关系，观察是否有等边，是否符合勾股定理等.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否惟一
6、，并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意A、B、C 的范围对三角函数值的影响.【例2】在ABC中，判断ABC的形状.【解题指南】此题主要是利用正弦定理转化成边或角，做出判断即可.【规范解答】方法一：asinAbsinB.由正弦定理可得：a2=b2，ab，ABC为等腰三角形.方法二：asinAbsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sinAsinB，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形.【反思感悟】化角为边的具体方法(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数
7、有界性的讨论.与三角形面积有关的问题【方法点睛】三角形面积公式(1)已知一边和这边上的高:(2)已知两边及其夹角：(3)已知三边：其中(4)已知两角及两角的共同边：(5)已知三边和外接圆半径R，则【例3】(1)已知ABC中，a8，b7，B60，则c=_，SABC=_.(2)(2012无锡模拟)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知求的值；若a=2,求b的值.【解题指南】(1)可利用正弦定理求出角C的正弦值,再求出边长c,进而求面积;也可利用余弦定理求出边c，再求面积.(2)先求cosA，再将待求式子切化弦后结合三角形内角和知识即可解决.结合三角形面积公式及余弦定理可求解.【
8、规范解答】(1)方法一:由正弦定理得方法二:由余弦定理得b2=c2+a2-2cacosB,72=c2+82-28ccos60,整理得:c2-8c+15=0,解得:c1=3,c2=5,答案：3或5 (2)因为锐角ABC中，A+B+C=，则因为中得b4-6b2+9=0，解得【反思感悟】运用正、余弦定理解决几何计算问题，要抓住条件、待求式子的特点，恰当地选择定理、面积公式，明确所需要求的边、角.已知量与未知量全部集中在一个三角形中时，可选择正、余弦定理求解，若涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形的解，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未
9、知量，从几个三角形中列出方程求解.【满分指导】解三角形主观题的规范解答【典例】(14分)(2011辽宁高考)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，求B.【解题指南】(1)根据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得；(2)先结合余弦定理和已知条件求出cosB的表达式，再利用第(1)题的结论进行化简即得.【规范答题】(1)由正弦定理得，即3分故6分(2)由余弦定理及10分可得故14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有三点容易造成失分：(1)看到第一问所求是边的比值,进而在边角互化时将角化为边,使问题复杂化而得不到正确
10、答案.(2)利用余弦定理后没有结合第一问的结果而使后面求解无法进行.(3)由求cosB时，忽略了判断角B的取值范围而产生错解.备考建议在解决三角形问题时还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)忘记或不会应用三角形中的隐含条件.(2)求边、角时,忽略其范围.(3)应用正、余弦定理时计算失误.另外,要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变换,才能快速正确地解决解三角形问题.1.(2011 浙江高考改编)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB，则sinAcosA+cos2B=_.【解析】由acosA=bsinB可得sinAcosA=sin2B,所以
11、sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案：12.(2011安徽高考)已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_.【解析】设三角形中间边长为x，则另两边的长为x-4，x+4，那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120，解得x=10，所以答案：3.(2011北京高考)在ABC中，若b=5,则a=_.【解析】由正弦定理，得答案：4.(2011福建高考)如图，ABC中，AB=AC=2，点D在BC边上，ADC=45，则AD的长度等于_.【解析】在ABC中，由余弦定理易得C=30,B=30.在ABD中，由正弦定理得：答案：5.(2011新课标全国卷)在ABC中，B=60，则AB+2BC的最大值为_.【解析】令AB=c，BC=a，则由正弦定理得c=2sinC,a=2sinA,且A+C=120，AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA当C+=90时，AB+2BC取最大值为答案：
