1、第七节三角函数的最值及应用内 容要 求ABC正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y=Asin(x+)的图象与性质高考指数:1.正弦、余弦函数的值域与最值y=sinxy=cosx值域-1,1-1,1最大值及条件11x=2k(kZ)最小值及条件-1-1x=+2k(kZ)【即时应用】(1)f(x)=sin2x,x0,的值域为_.(2)f(x)=-cosx,x0,的值域为_.(3)f(x)=-2sin2x取最大值时x的集合为_.【解析】(1)当时，sinx0,1,sin2x0,1;(2)当x0,时，cosx-1,1，-cosx-1,1;(3)当时,f(x)有最大值，此时答案：(1)0，1(2)
2、-1，1-A，AA-A【即时应用】(1)思考：含有三角函数的复合函数的最值问题常用哪些方法解决？提示:将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求最值.将所给的函数转化为sinx或cosx的函数，利用sinx,cosx的单调性及有界性求最值.(2)函数的最大值为_，此时x=_.【解析】当即答案：2可化为y=Asin(x+)+k型的值域问题【方法点睛】可化为y=Asin(x+)+k型值域的求法(1)依据三角函数的和、差、倍角公式把待求问题转化为y=Asin(x+)+k的形式.(2)利用函数的单调性求解.【提醒】化简过程中要注意和、差、倍角公式的逆用.【例1】(2012徐州模拟)已知函数(1)求的
3、值；(2)求f(x)的最大值及相应x的值.【解题指南】(1)把代入解析式直接求解.(2)把f(x)化简为f(x)=Asin(x+)+k的形式求最值并求相应的x的值.【规范解答】(2)当时，f(x)max=2+1=3,此时，【反思感悟】此类题目是函数y=Asin(x+)+k性质的综合应用，往往涉及单调性、奇偶性、对称性、最值等，要充分结合函数的性质解题，考查综合应用数学知识的能力.可化为二次函数型值域的问题【方法点睛】可化为二次函数型的三角函数求值域的方法(1)对于y=asinx+bcos2x(a,b0)型的函数，求解时可利用“cos2x=1-2sin2x”把函数转化成关于“sinx”的二次函数
4、求最值.(2)化简后，若对称轴不确定，还需结合图象分类讨论.【提醒】求最值时要注意sinx的范围.【例2】求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.【解题指南】(1)含有参数a;(2)角有“x”,“2x”;(3)函数名称有“sinx”和“cos2x”.解答此题先用二倍角公式统一函数名和角，然后利用数形结合及分类讨论的思想求解最值.【规范解答】y=f(x)=2-4asinx-cos2x=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.当a-1时，
5、如图.有y最大=g(1)=3-4a,y最小=g(-1)=3+4a.当-1a1时，如图.有y最小=g(a)=1-2a2,y最大为g(-1)和g(1)中的较大者，即y最大=3-4a(-1a0)或y最大=3+4a(01时，有y最大=g(-1)=3+4a,y最小=g(1)=3-4a.综上所述，【反思感悟】求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y表示成以sinx(或cosx)为元的一次或二次复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.(2)将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx=f(y),再由sinx1构建关于y的不等式f(y)1,从而求得y的取值范围.实际应用中的最值问题
6、【方法点睛】利用三角函数求平面区域面积最值的步骤(1)选定某个变化的角作为自变量.(2)将面积S表示成这个角的函数.(3)将问题转化为求三角函数的最值.【提醒】自变量的取值范围要根据实际情况而定，求函数的最值可通过三角变换来解决.【例3】(2012连云港模拟)如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼，设扇形的半径OM=R，MOP=45，OB与OM之间的夹角为.(1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成的函数.(2)
7、若R=45 m，求当为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01m2)【解题指南】(1)由图先求出BC，然后求AB，将S表示出来.(2)结合三角函数的性质求出S的最值.【规范解答】(1)由题意可知，点M为的中点，所以OMAD.设OM与BC的交点为F，则BC=2Rsin，OF=Rcos.即S=ABBC=2Rsin(Rcos-Rsin)(2)由(1)知S=R2(2sincos-2sin2)=R2(sin2-1+cos2)因为所以当即时，S有最大值.=0.4142 025=838.35(m2).故当时，矩形ABCD的面积S有最大值,最大值为838.35 m2.【反思感悟】
8、与角有关的最值问题，一般都化归为三角函数模型，利用三角函数的单调性和有界性来求其最值，特别注意所建函数的定义域.【满分指导】三角函数最值问题的规范解答【典例】(14分)(2011重庆高考)设aR,f(x)=cosx(asinx-满足求函数f(x)在上的最大值和最小值.【解题指南】先由求得a的值，后将f(x)化为f(x)=Asin(x+)的形式，然后在区间上求最值.【规范解答】2分解得4分因此当为增函数，当为减函数，8分所以f(x)在上的最大值为10分又因12分故f(x)在14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示与备考建议：失分警示解答本题时有三点易造成失分：
9、(1)a的值求错，从而得不到正确答案.(2)忽略x的范围造成最小值为-2.(3)不考虑单调性，f(x)的最小值误认为是备考建议在解决最值问题时还有以下几点容易造成失分，在备考时应高度重视：(1)对三角函数的和、差公式不会逆用造成解析式化简错误.(2)在给定区间上求最值时易忽略条件.另外，要熟练掌握函数的增减区间及增减性，才能快速解决最值问题.1.(2012徐州模拟)函数的最小值为_.【解析】当时，tanx0,答案：2.(2012宿迁模拟)函数y=2sin2x-3sin2x的最大值是_.【解析】答案：3.(2012无锡模拟)化简并求f(x)的最小值和最小正周期.【解析】函数f(x)的最小值为-4,函数f(x)的最小正周期为
