1、第六节二倍角的三角函数内 容要 求ABC二倍角的正弦、余弦及正切三年1考高考指数:二倍角公式正弦余弦正切sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1【即时应用】(1)思考：如何理解“二倍角”中的“倍”？提示:“倍”是相对的.如是的二倍，3是的二倍，+是的二倍等.(2)(cos15-cos75)(sin75+sin15)=_.【解析】原式=(cos15-sin15)(cos15+sin15)=cos215-sin215=cos30=答案：(3)的值等于_.【解析】答案：(4)若则tan2=_.【解析】答案：三角函数的化简【方法点睛】三角函数的化简技巧(1)
2、寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角.(2)正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值.(3)一些常规技巧：“1”的代换、正切化弦、和积互化、异角化同角等(4)三角函数的化简常用方法是：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，正切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化(5)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.【提醒】公式的逆用、变形用十分重要，特别是1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”.【例1】化简下列各式：【解
3、题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2是的二倍，是的二倍，以及其范围不难找到解题的突破口；(2)分子是一个平方差符合二倍角公式，分母切化弦后符合二倍角公式.【规范解答】(1)因为所以又因为所以所以，原式=(2)原式=答案：【反思感悟】1.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，cos2=是常用的三角变换.2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次、消元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.3.公式变形三角函数的求值【方法点睛】三角函数求值的类型和技巧三角函数的求值是三角变换中常见题型,
4、它分为非条件求值(特殊的化简)和条件求值.条件求值中又有给值求值和给角求值,解此类问题的关键是把待求角用已知角表示:已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系.对于角还可以进行配凑,常见的配凑技巧有:【例2】若求的值.【解题指南】本题可以利用的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.【规范解答】方法一：由得又因从而原式方法二：原式而所以原式=【反思感悟】1.此题若将的左边展开成再求cosx,sinx的值就
5、很繁琐，把作为整体，并注意角的变换运用二倍角公式，关键是在于化难为易，化繁为简的三角恒等变换.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.三角恒等式的证明【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点(1)证明恒等式的方法：从左到右；从右到左；从两边化到同一式子.原则上是化繁为简，必要时也可用分析法.(2)三角恒等式证明的切入点：看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化;看函数:统一函数,向结果中的函数转化.【例3】证明：【解题指南】(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利用公式推导；(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函
6、数关系式，注意“1”的代换.【规范解答】(1)左边=右边，原题得证.(2)左边右边，原题得证.【反思感悟】三角函数证明时需要对三角函数式化简，三角函数式化简的主要类型为：对三角函数的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；对三角函数的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式，最终变成整式或数值；对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化单角”、“复角化复角”等具体手段.【满分指导】三角函数求值主观题的规范解答【典例】(14分)(2011天津高考)已
7、知函数(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设求的大小.【解题指南】(1)由(kZ)及周期公式即可求解;(2)将已知条件代入化简结合二倍角公式建立等式关系，即可求解.【规范解答】(1)由得2分所以f(x)的定义域为f(x)的最小正周期为6分(2)由得即8分整理得10分因为所以sin+cos0,因此12分由14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)求定义域时未把最后结果写成集合或区间的形式；(2)忽略的范围，由得出两个结果.备考建议解决三角函数问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对公式记忆不准确；(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.另外需要熟练掌握特殊角的三角函数值，才能快速正确地解决一些三角函数的问题.1.(2011福建高考改编)若tan=3，则的值等于_.【解析】答案：62.(2011辽宁高考改编)设则sin2=_.【解析】将展开得两边平方得所以答案：3.(2011江苏高考)已知则的值为_.【解析】由可得答案：4.(2011重庆高考)已知则的值为_.【解析】由题意知两边平方可得所以又答案：
