1、第五节 同角三角函数的基本关系式与两角和与差的三角函数三年6考高考指数:1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.1.同角三角函数间的关系式可能在与解析几何、数列、解三角形等知识的交汇处命题.2.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容.尤其是对asinx+bcosx的化简是每年高考必考内容.3.在选择题、填空题、解答题中都可以考查,题目属中低档题.1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:_；(2)商数关系:_(k+,kZ).sin2+cos2=1【即时应用】(1)设
2、sin(-)=且 则tan=_.(2)已知sinx=2cosx,则sin2x+1=_.【解析】(1)sin(-)=sin=且()，(2)sin2x+cos2x=1，答案：2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式公式名公式两角和与差的正弦两角和与差的余弦两角和与差的正切【即时应用】(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“”或“”)cos15=cos(45-30)=cos45-cos30 ()sin15=sin(45-30)=cos45sin30-sin45cos30 ()cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45 ()cos15=cos(60-45)=cos60c
3、os45-sin60sin45 ()(2)计算sin72cos18+cos72sin18=_.(3)计算cos72cos12+sin72sin12=_.【解析】(1)cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30,故错误；sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30，故错误;正确，cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45,故错误.(2)原式=sin(72+18)=sin90=1.(3)原式=cos(72-12)=cos60=.答案：(1)(2)1(3)同角三角函数关系式的应用【方法点睛】同角三角函
4、数关系式的应用及注意问题(1)利用sin2+cos2=1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用 可以实现角的弦切互化.(2)应用sin2+cos2=1求sin或cos时，特别注意角的三角函数值的符号.符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”【例1】已知是三角形的内角,且(1)求tan的值;(2)把 用tan表示出来,并求其值.【解题指南】(1)由同角三角函数平方关系公式及已知，列方程组求出sin，cos的值,然后求出tan即可.(2)利用“1”的逆用，把原式化为关于sin，cos的齐次式，转化为关于tan的代数式，代入求值.【规范解答】(1)方法一：联立方程由得cos=-sin，将其代入，整
5、理得25sin2-5sin-12=0.是三角形的内角，sin0,方法二:sin+cos=,(sin+cos)2=()2，即1+2sincos=,2sincos=(sin-cos)2=1-2sincos=sincos=0且00,cos0,sin-cos=【反思感悟】1.应用同角公式时注意方程思想的应用：对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子，利用(sincos)2=12sincos,可以知一求二.2.注意公式逆用及变形应用：1=sin2+cos2，sin2=1-cos2,cos2=1-sin2.三角函数的求值【方法点睛】三角函数的求值的两种主要类型(1)给角求值的解题思路是正
6、确地选用公式，把非特殊角的三角函数相消，从而化为特殊角的三角函数.(2)给值求值的解题思路是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得函数值代入，从而达到解题的目的.【例2】已知 求sin(+)的值.【解题指南】先求 再将sin(+)变换为 求解.【规范解答】又又sin(+)=-sin+(+)【反思感悟】解答有限制条件的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，即用已知角来表示未知角，或把未知角向已知角方向转化.三角函数的给值求角【方法点睛】1.三角函数的给值
7、求角问题的一般思路(1)求出该角的某一三角函数值;(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出角.2.三角函数给值求角时应注意的问题求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的函数，这样,由三角函数值才可以唯一确定角.一般规律如下:(1)若角的范围是 选正、余弦皆可;(2)若角的范围是(0,),选余弦较好;(3)若角的范围为 选正弦较好.【例3】(2012芜湖模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的纵坐标分别为(1)求+;(2)求tan(-)的值.【解题指南】先由坐标系求出sin,sin,cos,cos的值.
8、(1)利用角+的某个三角函数值求出+,注意+的范围.(2)求出tan,tan,再由tan(-)的公式求解.【规范解答】由条件得、为锐角，(1)cos(+)=coscos-sinsin又,为锐角，所以+(0,)，故(2)由条件可知【反思感悟】此类题是给值求角题,步骤如下:求所求角的某一个三角函数值,确定所求角的范围,此类题常犯的错误是对角的范围把握不准,使角的范围过大或过小,会使求出的角不合题意或者漏解,同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.三角函数的综合应用【方法点睛】三角函数公式和三角函数性质的关系(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中
9、.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(x+)的形式,再进一步探讨定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.(2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用，主要考查基本运算能力【例4】已知函数f(x)=2sin(-x)cosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换，再求三角函数的性质.【规范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f(x)的最小正周期为.(2)由f(x)在区间 上的最大值为1，最小值为【反思感悟】利用三角函数公式进行
10、三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(x+)的性质，有时给出角的范围时要注意x+的范围的变化.【满分指导】三角函数主观题的规范解答【典例】(12分)(2011广东高考)已知函数xR.(1)求 的值;(2)设求cos(+)的值.【解题指南】(1)把代入解析式直接求解；(2)由题目条件可求出sin及cos的值，然后利用同角三角函数关系，求出cos及sin的值，再利用两角和的余弦公式求解.【规范解答】3分(2)由得即6分由得从而8分10分cos(+)=coscos-sinsin12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到
11、以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)忽略角,的范围，求解cos,sin的值时出错；(2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致出现错误.备考建议解决三角函数问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对公式记忆不准确而使公式应用错误；(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.另外需要熟练掌握特殊角的三角函数值，才能快速正确地解决三角函数的一些问题.1.(2011福建高考)若tan=3，则的值等于()(A)2(B)3(C)4(D)6【解析】选D.的值等于6.2.(2011福建高考)若()，且sin2+cos2=则tan的值等于()【解析】选D.sin2+cos2=sin2+(1-2sin2)=又3.(2011 浙江高考)若则()【解析】选C.由可得由及可得所以4.(2011辽宁高考)设则sin2=()【解析】选A.将展开得两边平方得所以5.(2011江苏高考)已知则的值为_.【解析】由可得答案：
