1、第三节三角函数的图象与性质三年10考高考指数:1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)；理解正切函数在区间(-,)的单调性.1.三角函数的图象和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用.2.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时也能利用函数的性质来描绘函数的图象.3.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题.1.周期函数和最小正周期对于函数f(x)
2、,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有_,则称f(x)为周期函数,T 为它的一个周期.若在所有周期中,有一个最小的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)【即时应用】思考：(1)常函数f(x)=a(aR)是否为周期函数,有无最小正周期?(2)若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，对吗？提示：(1)是周期函数，但没有最小正周期.(2)对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期是4.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域
3、值域yxOO1-12yx1-1 2Oyx R R-1,1-1,1xxR且x +k,kZR函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性递增区间是2k-,2k+(kZ),递减区间是2k+,2k+(kZ)递增区间是2k-,2k(kZ),递减区间是2k,2k+(kZ)递增区间是(k-,k+)(kZ)函数y=sinxy=cosxy=tanx无最大值和最小值最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1+2k(kZ)+2k(kZ)2k(kZ)+2k(kZ)函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心对称轴(k,0),(kZ）
4、(k+,0),(kZ)(,0),(kZ)x=k+,(kZ)x=k,(kZ)无对称轴最小正周期22【即时应用】(1)判断下列命题的正误(请在括号中填“”或“”)y=sinx在第一、第四象限是增函数.()y=sinx在x-,上是增函数.()y=tanx在定义域上是增函数.()y=sin|x|是偶函数.()y=sin2x的周期为2.()y=cos2x的对称中心为(k+,0)，kZ.()(2)若直线y=a与函数y=sinx,x-2,2)的图象有4个交点,则a的取值范围是_.(3)函数y=tan(-x)的定义域是_.【解析】(1)由y=sinx的递增区间是2k-,2k+(kZ)可知不正确,正确；由y=t
5、anx在(k-,k+)(kZ)上是增函数可知不正确；由sin|-x|=sin|x|可知正确；由y=sin2x的周期为=知不正确；由余弦函数y=cosx的对称中心为(k+,0)(kZ)可得x=+，所以(+,0)(kZ)为y=cos2x的对称中心，故不正确.(2)如图所示:y=sinx,x-2,2)有两个周期,故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1a1.(3)由x-k+,kZ得xk+,kZ,所以y=tan(-x)的定义域为x|xk+,kZ.答案：(1)(2)-1a1 (3)x|xk+,kZ三角函数的定义域和值域【方法点睛】1.三角函数的定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(
6、组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.三角函数值域的求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域.(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(4)利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.【例1】(1)函数y=的定义域为_.(2)已知f(x)的定义域为0，1，则f(cosx)的定义域为_.(3)函数y=lgsin(cosx)的定义域为_.(4)当x ,时，函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_，最大值是_.【解题指南】(1)tanx-10,且xk+，kZ;(2)要使0c
7、osx1;(3)要使sin(cosx)0，这里的cosx以它的值充当角.(4)利用同角三角函数关系式转化成sinx的二次函数求解.【规范解答】(1)由tanx-10,且xk+,kZ得xk+且xk+,kZ，所以函数的定义域为：x|xk+且xk+,kZ答案：x|xk+且xk+,kZ(2)0cosx12kx2k+(kZ).所求函数的定义域为2k，2k+(kZ).答案：2k，2k+(kZ)(3)由sin(cosx)02kcosx2k+(kZ).又1cosx1，0cosx1.故所求定义域为(2k，2k+)，kZ.答案:(2k，2k+)，kZ(4)因为x ,-sinx1,y=3-sinx-2cos2x=2
8、sin2x-sinx+1=2(sinx-)2+,所以当sinx=时，ymin=；当sinx=1或-时，ymax=2.答案：2【反思感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式.2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或者三角转化，这时候一定要注意所给的定义域和三角函数的值域的应用.三角函数的单调性【方法点睛】复合三角函数的单调区间求形如y=Asin(x+)+k 的单调区间时,只需把x+看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.求y=Acos(x+)+k和y=Atan(x+)+k 的单调区间类似.【提醒】熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函
9、数单调区间的基础.【例2】求下列函数的单调区间：(1)y=sin()；(2)y=sin(x+).【解题指南】(1)要将原函数化为y=sin(x)再求之.(2)可画出y=|sin(x+)|的图象，利用图象求解.【规范解答】(1)y=sin()=sin().故由2k 2k+(kZ)3kx3k+(kZ)为单调递减区间；由2k+2k+(kZ)3k+x3k+(kZ)为单调递增区间.单调递减区间为3k，3k+(kZ)，单调递增区间为3k+，3k+(kZ).(2)y=|sin(x+)|的图象如图，单调递增区间为k+，k+(kZ)，单调递减区间为k，k+(kZ).【反思感悟】三角函数的单调区间的求法：(1)代
10、换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间.(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.三角函数的奇偶性和周期性【方法点睛】1.三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断它们的奇偶性；也可以根据图象做判断.2.求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义.(2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x
11、+)的最小正周期为,y=tan(x+)的最小正周期为.(3)利用图象.3.三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.要注意以下两种情况：一是没有考虑原函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形.【例3】设函数f(x)=sin(x+)(0,|)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图象关于直线x=成轴对称图形；它的图象关于点(,0)成中心对称图形；在区间-,0)上是增函数.以其中两个论断作为条件，另两个论断作
12、为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可).【解题指南】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.【规范解答】若、成立，则=2；令2 +=k+，kZ，且|，故k=0，=.此时f(x)=sin(2x+)，当x=时，sin(2x+)=sin=0，f(x)的图象关于(,0)成中心对称；又f(x)在-,上是增函数，在-,0)上也是增函数，因此，用类似的分析可得.因此填或.答案：(也可填)【反思感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图象，其中对称性包含轴对称和中心对称.【易错误区】三角函数的图象
13、和性质的易错点【典例】(2011安徽高考)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR,ab0，若f(x)|f()|对一切xR恒成立，则f()=0|f()|f()|f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)的单调递增区间是k+,k+(kZ)存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交.以上结论正确的是_(写出正确结论的编号).【解题指南】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a,bR,ab0，变形为f(x)=sin(2x+)，然后根据性质顺次判断命题的正误.【规范解答】由f(x)|f()|对一切xR恒成立知，直线x=是f(x)的对称轴，又f(x)=sin(2x+)(其中tan
14、=)的周期为，f()=f(+)可看作x=的值加了个周期，f()=0,故正确.-=，-=，和与对称轴的距离相等.|f()|=|f()|,故不正确.x=是对称轴，sin(2 +)=1，+=+2k,kZ，=+2k或=-+2k，kZ.tan=，a=b，f(x)=2|b|sin(2x+)或f(x)=2|b|sin(2x-)，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确.由以上知，f(x)=2|b|sin(2x+)的单调递增区间为-+k,+k,kZ,f(x)=2|b|sin(2x-)的单调递增区间为+k,+k,kZ,由于f(x)的解析式不确定.单调递增区间也不确定，故不正确.f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+)(其中tan=)，-f(x).又ab0，a0,b0，-b0cosx ,此时原函数是增函数；y=-2cosx ,此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C正确.
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