1、第三节 三角函数的图像与性质三年10考高考指数:1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性.2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在 上的性质.1.三角函数的图像和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性的应用.2.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数的性质，同时既能利用函数的性质来描绘函数的图像，又能熟练地运用数形结合的思想方法.3.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会在解答题中考查，属中档题.1.周期函数及最小正周期(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存
2、在非零实数T，对定义域内的任意一个x值,都有_,那么把函数f(x)称为周期函数，_称为这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_称为f(x)的最小正周期.f(x+T)=f(x)T最小的正数最小正数【即时应用】(1)思考:常函数f(x)=a(aR)是否为周期函数,有无最小正周期?提示：是周期函数，但没有最小正周期.(2)思考:若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数，对吗？提示：对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数，最小正周期是4.(3)函数的最小正周期是_.【解析】由周期函数的定义知原函数
3、的最小正周期是4.答案：42.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域值域yxOO1-12yx1-1 2OyxxRxR-1,1-1,1xR且x +k,kZR函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性递增区间是2k-,2k+(kZ),递减区间是2k+,2k+(kZ)递增区间是2k-,2k(kZ),递减区间是2k,2k+(kZ)递增区间是(k-,k+)(kZ)函数y=sinxy=cosxy=tanx无最大值和最小值最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1+2k(kZ)+2k(kZ)2k(kZ)
4、+2k(kZ)函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心对称轴(k,0),kZ(k+,0),kZ(,0),kZx=k+,kZx=k,kZ无对称轴最小正周期22【即时应用】(1)判断下列命题的正误.(请在括号中填“”或“”)y=sinx在第一、第四象限是增函数.()y=sinx在x上是增函数.()y=tanx在定义域上是增函数.()y=sin|x|是偶函数.()y=sin2x的周期为2.()y=cos2x的对称中心为(k+,0)，kZ.()(2)若直线y=a与函数y=sinx,x-2,2)的图像有4个交点,则a的取值范围是_.(3)函数的定义域是_.【解析】(
5、1)由y=sinx的递增区间是可知不正确,正确；由y=tanx在上是增函数可知不正确；由sin|-x|=sin|x|可知正确；由y=sin2x的周期为知不正确；由余弦函数y=cosx的对称中心为可得所以为y=cos2x的对称中心，故不正确.(2)如图所示:y=sinx,x-2,2)有两个周期,故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1a1.(3)由x-k+,kZ得xk+,kZ,所以y=tan(-x)的定义域为x|xk+,kZ答案：(1)(2)-1a1(3)x|xk+,kZ 三角函数的定义域和值域【方法点睛】1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函
6、数线或三角函数图像来求解.2.三角函数值域的不同求法(1)利用sinx和cosx的值域直接求.(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域.(3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(4)利用sinxcosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.【例1】(1)函数 的定义域为_.(2)已知f(x)的定义域为0，1，则f(cosx)的定义域为_.(3)当x 时,函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_,最大值是_.【解题指南】(1)由tanx-10,且xk+，kZ求得;(2)利用cosx0,1求得x;(3)利用同角三角函数关系式转化成sinx的
7、二次函数求解.【规范解答】(1)由tanx-10,且xk+,kZ得xk+且xk+,kZ，所以函数的定义域为：答案：x|xk+且xk+,kZ(2)0cosx12k x2k+(kZ).所求函数的定义域为2k，2k+(kZ).答案：2k，2k+(kZ)(3)因为y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1=所以当时，当sinx=1或时，ymax=2.答案：【反思感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式.2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范围.三角函数的单调性【方法点睛】三角函数单调区间的求法(1)代换法所谓
8、代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间.(2)图像法函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图像，那它的单调区间就直观明了了.【例2】(1)(2012咸阳模拟)函数 的单调递减区间是()(2)求函数y=-|sin(x+)|的单调区间.【解题指南】(1)将看成整体,然后求解.(2)可画出的图像,利用图像求解.【规范解答】(1)选D.当时，即当时，y随x的增大而减小，单调减区间为(kZ),
9、故选D.(2)y=|sin(x+)|的图像如图，单调递增区间为k+，k+(kZ)，单调递减区间为k，k+(kZ).【反思感悟】1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础.2.求形如y=Asin(x+)+k 的单调区间时,只需把x+看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内求得x的区间即可,求y=Acos(x+)+k和y=Atan(x+)+k 的单调区间类似.三角函数的奇偶性和周期性【方法点睛】1.三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图像判断.2.求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义.
10、(2)利用公式:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期为 y=tan(x+)的最小正周期为(3)利用图像.3.三角函数的对称性正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间.要注意以下两种情况：一是没有考虑原函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形.【例3】设函数f(x)=sin(x+)(0,|)，给出以下四个论断：它的最小正周期为；它的图像关于直线 成轴对称图形；它的图像关于点()成中心对称图形；在区间)上是增函
11、数.以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_(用序号表示即可).【解题指南】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图像及单调性、周期性以及对称性逐一判断.【规范解答】若、成立，则令且|故k=0，此时f(x)=sin(2x+)，当x=时，sin(2x+)=sin=0，f(x)的图像关于(,0)成中心对称；又f(x)在 上是增函数，在 )上也是增函数，因此，用类似的分析可得.因此填或.答案：(也可填)【反思感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函数的图像，其中对称性包含轴对称和中心对称.【易错误区】有关三角函数
12、图像与性质的易错点【典例】(2011安徽高考)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a,bR,ab0，若对一切xR恒成立，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数f(x)的单调递增区间是存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.以上结论正确的是_(写出正确结论的编号).【解题指南】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a,bR,ab0，变形为然后根据性质顺次判断命题的正误.【规范解答】由f(x)|f()|对一切xR恒成立知，直线是f(x)的对称轴，又(其中)的周期为，可看作x=的值加了个周期，故正确.和与对称轴的距离相等.故不正确.x=是对称轴，sin(2 +)=1或f(x)=
13、2|b|sin(2x+)或f(x)=2|b|sin(2x-)f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确.由以上知，f(x)=2|b|sin(2x+)的单调递增区间为的单调递增区间为由于f(x)的解析式不确定.单调递增区间也不确定，故不正确.f(x)=asin2x+bcos2x=(其中)又ab0，a0,b0过点(a，b)的直线必与函数f(x)图像相交，故不正确.答案：【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时易犯以下两点错误：(1)在求中f(x)的单调递增区间时,运算化简不准确，而使判断错误；(2)对于的判断不是根据推导，而是凭借印象想当
14、然判断，而使解答错误.备考建议解决三角函数性质的问题时，还有以下几点在备考时要高度关注：(1)化简时公式应用要准确；(2)有的题目涉及到角的范围时要考虑全面；(3)和其他内容结合时要注意三角函数的值域.1.(2011陕西高考)设函数f(x)(xR)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图像可能是()【解析】选B.由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图像关于y轴对称，可知B、D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B.2.(2011
15、新课标全国卷)设函数则()(A)y=f(x)在(0,)内单调递增，其图像关于直线x=对称(B)y=f(x)在(0,)内单调递增，其图像关于直线x=对称(C)y=f(x)在(0,)内单调递减，其图像关于直线x=对称(D)y=f(x)在(0,)内单调递减，其图像关于直线x=对称【解析】选D.f(x)在(0,)内单调递减，且图像关于直线x=对称.3.(2012桂林模拟)已知函数y=sin(x+)(0)的部分图像如图所示，设P是图像的最高点，A,B是图像与x轴的交点，则tanAPB=()(A)10 (B)8(C)(D)【解析】选B.作PHAB于H，依题意得，又|PH|=1，设APH=,HPB=,tanAPB=tan(+)=
