1、第一节三角函数的概念内容要求ABC三角函数的概念高考指数:1.角的有关概念角定义角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.分类正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角射线没有作任何旋转终边相同的角：与终边相同的角可构成集合S=|=+k360,kZ【即时应用】(1)思考：角为锐角是角为第一象限角的什么条件？提示：充分不必要条件，因为锐角为大于0小于的角，而第一象限角的范围为(2k，2k+)(kZ).(2)判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”).第一象限角一定是锐角()小于90的角一定是锐角()钝角一定是第二象限角()第一象限角一定不是
2、负角()【解析】不正确，如=390;不正确，如=0;正确；不正确，如=-315.答案：2.弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角角的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形面积公式把长度等于_的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用1 rad表示弧长l=_半径r|【即时应用】(1)的度数为_.(2)半径为5的圆中长为10的弧所对的圆心角大小为_.(3)扇形的半径为2，圆心角为120，扇形面积为_.【解析】(1)(2)(3)答案：(1)15(2)2 rad (3)3.任意角的三角函数(1)定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=0)
3、，规定：比值_叫做的正弦，记作sin，即sin=_；比值_叫做的余弦，记作cos,即cos=_；比值_(x0)叫做的正切，记作tan,即tan=_.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在_上，余弦线的起点都是_，正切线的起点都是_.x轴原点(1，0)【即时应用】(1)思考：如何用三角函数线比较三角函数值的大小？提示:三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.(2)已知角终边上一点M的坐标为(3，-4)，则sin=_,cos=_,tan=_.【解析】答案：终边相同的角【方法点睛】终边相同的角的应用(1)与角终边相同的角可表示为|=+360
4、k，kZ，利用这一关系可解决已知所在的象限，求所在象限的问题.(2)利用该关系时，一定是360的整数倍与k(kZ)的乘积而不是其他数值.【提醒】若出现180k(kZ)时需对k的值讨论然后确定象限.【例1】已知角是第一象限角，确定2，所在的象限.【解题指南】先依据所在的象限借助终边相同角的表示，给出角的范围，在此基础上求出及2的范围，最终明确2,所在象限.【规范解答】是第一象限角，k2k2+(kZ).k42k4+(kZ),即2k222k2+(kZ),2的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上.k(kZ),当k=2n(nZ)时,2n(nZ),的终边在第一象限.当k=2n+1(nZ)时,(2n+
5、1)(2n+1)+(nZ),即2n+2n+(nZ),的终边在第三象限.综上，的终边在第一象限或第三象限.【反思感悟】1.已知角所在象限，应熟练地确定所在象限：第一象限第二象限第三象限第四象限第一或第三象限第二或第四象限区域2.在解决这类问题时一定要注意分类讨论思想的应用，而且要讨论全面.弧度制的应用【方法点睛】弧度制的应用(1)引进弧度制后，实现了角度与弧度的相互转化，在弧度制下可以应用弧长公式：l=r|，扇形面积公式：计算弧长和扇形的面积利用弧度制比角度制更简捷、方便.(2)应用上述公式时,要先把角统一为用弧度制表示.【提醒】弧度制和角度制不能混用，解决问题时要先统一.【例2】已知扇形的圆心
6、角是，半径为R，弧长为l.(1)若=60，R=10 cm,求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若=，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.【解题指南】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制.(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其取最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角.(3)可直接利用公式求解.【规范解答】(1)(cm).(2)由已知得：l+2R=20,所以=10R-R2=-(R-5)2+25，所以R=5 cm时，S取得最大值25，此时l=10 cm，=2 rad.(3)设弓形面积为S弓.由题知【反思感悟】1.弧度制下
7、的弧长、扇形面积公式与角度制下的弧长公式扇形面积公式有着必然的内在联系.2.在解决弧长问题和扇形面积问题时要注意合理的利用圆心角所在的三角形.三角函数的定义【方法点睛】1.三角函数定义的理解在直角坐标系xOy中，设P(x,y)是角终边上任意一点，且|PO|r，则2.定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值.【例3】已知角的终边在直线3x+4y=0上
8、，求sin,cos,tan的值.【解题指南】在直线上设出点，求出所设点到原点的距离，求得三角函数值，因为所设点可在不同象限，所以需要讨论.【规范解答】角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则x=4t,y=-3t,当t0时，r=5t,当t0时，r=-5t,【反思感悟】任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的区别、联系及实质(1)区别：锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的.(2)联系：锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，它们的基础是建立于相似或直角三角形的性质.(3)实质：由锐角三角函数的定义到任
9、意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.【易错误区】三角函数定义的应用误区【典例】(2011江西高考)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin=则y=_.【解题指南】根据三角函数定义列出等式求出y.【规范解答】答案：-8【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示解答本题时，常会出现以下两种失误：(1)混淆三角函数定义，求得(2)建立等式后计算错误.备考建议由三角函数定义解决问题时应注意以下两点：(1)熟练掌握定义(2)加强运算能力和求解能力的培养.1.(2011上海高考改编)若三角方程sinx=0与sin2x=0的解集分别为E，F,则集合E，F的关系为_.【解析】因为sinx=0，sin2x=0，所以角x和角2x的终边都在x轴上，所以E=x|x=k,kZ，F=x|x=,kZ，所以E F.答案：EF2.(2012泰州模拟)已知角的终边经过P(x,-6),且tan=则x的值为_.【解析】x=10.答案：103.(2012无锡模拟)已知角的终边在直线y=3x上，且始边与x轴正半轴重合，顶点与原点重合，则tan=_.【解析】在终边上任取一点(x0,y0),则y0=3x0,由三角函数定义知答案:3
