1、第九节函数与方程三年13考高考指数:1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考的热点.2.常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想.3.题型以选择题和填空题为主，若与导数综合，则以解答题形式出现，属中、高档题.1.函数的零点(1)定义：若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_.(2)三个等价关系：f(x)=0f(x)=0有实数解f(x）的图象与x轴有交点f(x)有零点【即时应用】(1)函数f(x)
2、=x3-x的零点是_.(2)函数的零点个数是_.【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1,f(x)的零点为-1，0，1.(2)由等价关系，零点个数转化为方程的根的个数即又转化为函数图象交点个数，由图象得：有一个交点.答案：(1)-1，0，1 (2)1xyo1-1-1y=lgx2.函数零点的存在性定理条件结论函数y=f（x）在上y=f(x)在(a,b)内有零点(1)图象是连续不断的(2)f(a)f(b)0，则不存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ()若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0()若f(a)f(b)0,则有可能不存在实数c(a,b)
3、使得f(c)=0()(2)在定理的条件下，当f(x)是_时，在区间(a,b)内f(x)有唯一的一个零点.(3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_.(区间端点为整数)(4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是_.【解析】(1)如图甲的情况可判断错正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确.(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.(3)由于f(0)=-10，f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590,故只有区间(1，2)满足.(4)由f(0)f(1)0,得(-1)(m-1)1.答案：(1)(2
4、)单调函数(3)(1，2)(4)m13.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 0 =0 0)的图象与x 轴的交点零点(x1,0),(x2,0）(x1,0)无交点x1,x2x1无xyox1x2xyoxyox1=x2【即时应用】(1)若二次函数f(x)=ax2+bx+c中，ac0,则其零点个数是_.(2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是_.【解析】(1)c=f(0),ac=af(0)0,即a和f(0)异号，函数必有两个零点.(2)当a=0时，则f(x)=-x-1,易知函数只有一个零点.当a0时，则函数为二次函数，仅有一个零点，即=1+4a=0,综上
5、，当a=0或时，函数只有一个零点.答案：(1)2 (2)a|a=0或4.二分法(1)二分法的定义满足的条件：在区间a,b上_的函数y=f(x)在区间端点的函数值满足：_.操作过程：把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点的近似值.连续不断f(a)f(b)0一分为二零点(2)用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间a,b,验证_,给定精确度;第二步：求区间(a,b)的中点c;第三步:计算f(c)；若f(c)=0,则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c);若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b).第四步：判
6、断是否达到精确度：即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.f(a)f(b)0【即时应用】(1)已知f(x)=x3+x2-2x-2,f(1)f(2)0,用二分法求f(x)在(1，2)内的零点时，第一步是_.(2)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间2，3内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是_.【解析】(1)根据二分法求函数零点近似值的步骤，已知f(1)f(2)0后，应该求区间(1，2)的中点为(2)令f(x)=x3-2x-5验证知f(2)0,f(3)0，所以下一个有根的区间是(2，2.5).答案：(1)求区间(1，2)的中点为(2)(2，2
7、.5)确定函数零点所在的区间【方法点睛】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0，f(1)=()1-2-13=10，f(2)=()2-2-23=-70,f(1)f(2)2,排除A.f(3)=-0,f(5)=ln3-0，f(3)f(4)0，函数f(x)的零点在(3，4)之间，故选C.【反思感悟】(1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)=0无法解出或函数y=f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存
8、在的判定定理判断.(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题.判断函数零点个数【方法点睛】判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【例2】(2011陕西高考)方程|x|=cosx在(-,
9、+)内()(A)没有根(B)有且仅有一个根(C)有且仅有两个根(D)有无穷多个根【解题指南】解决本题可转化为函数y=|x|与y=cosx在R上的交点问题或利用零点存在的判定定理及函数的性质进行判断.【规范解答】选C.方法一：构造两个函数y=|x|和y=cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根.x15-5yo-1-224方法二：令f(x)=|x|-cosx，则知函数为偶函数，当x0,+)时，f(x)=x-cosx,显然x+)时，f(x)=x-cosx0,当x0,时，f(x)=1+sinx0,故f(x)=x-cosx在0，上单调递增且f
10、(0)=0-cos0=-10,即f(0)f()0).(1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解题指南】解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.【规范解答】(1)方法一：等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是2e,+)，因此，只需m2e,则g(x)=m就有零点.方法二：作出的大致图象如图：可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出的大致图象.f(x
11、)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2，其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.【创新探究】函数零点命题的新考向【典例】(2011山东高考)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*，则n=_.【解题指南】解答
12、本题可先确定函数f(x)在(0，+)上的单调性，然后根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0(n,n+1),nN*确定出n的值.【规范解答】2a3,f(x)=logax+x-b为定义域上的单调递增函数，f(2)=loga2+2-b,f(3)=loga3+3-b，2a3b,0lg2lgalg3,3,-b-3,2-b-1,loga2+2-b0,即f(2)0,1 ,3b4,-13-b0,f(3)0,即f(2)f(3)0时，f(a)=a2=4,a=2.综上，a=-4或2.3.（2012益阳模拟）函数y=f(x-1)的图象如图所示，它在R上单调递减，则y=f-1(x)的零点为_.【解析】由y=f(x-1)的图象向左平移1个单位就得到y=f(x)的图象，所以有f(0)=1，f-1(1)=0.答案：14.(2011辽宁高考)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是_.【解析】函数f(x)=ex-2x+a有零点，即方程ex-2x+a=0有实根，即函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，而g(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-,ln2)上递增，在(ln2，+)上递减，因此g(x)=2x-ex的值域为(-,2ln2-2,所以要使函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，只需a2ln2-2即可.答案：(-,2ln2-2
