1、第十三节定积分与微积分基本定理三年8考高考指数:1.了解定积分的实际背景，基本思想和概念；2.了解微积分基本定理的含义.1.定积分的计算与利用定积分求平面图形的面积是高考的重点；2.多以选择题、填空题的形式考查.1.定积分的定义一般地，给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),其图像如图所示.oy=f(x)abyxi-1 xix(1)将a,b区间分成n份，分点为：a=x0 x1x2xn-1xn=b,第i个小区间为_,设其长度为xi.(2)在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值_，设S=_.xi-1,xi最大f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn(3)在这个
2、小区间上取一点i，使f(i)在区间xi-1,xi上的值_，设s=_.最小f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn(4)如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于_，S与s的差也趋于_，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数y=f(x)在区间a,b上的定积分，记作_,即_=A.其中_叫作积分号，_叫作积分的下限，_叫作积分的上限，_叫作被积函数.00abf(x)【即时应用】(1)思考:积分f(x)dx与f(t)dt是否相等？提示:相等.定积分的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量无关.(2)设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上的平均值为_.【解析】由
3、定积分的含义可知f(x)在a,b上的平均值为答案：(3)设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分f(x)dx的符号为_(填“正”或“负”).【解析】由定积分的几何意义可知f(x)dx的符号为正.答案：正2.定积分的几何意义f(x)f(x)0f(x)0，所以f(1)=lg1=0，又因为所以f(0)=a3，所以a3=1,a=1.答案：1【反思感悟】1.求定积分时,如果被积函数比较复杂,可把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差的形式,再求解.2.求定积分值时，应首先选用微积分基本定理,当满足F(x)=f(x)的F(x)不易求时,可考虑应用定积分的几何意义求解.利用定积
4、分求平面图形的面积【方法点睛】求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.【提醒】利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.【例2】(1)(2011湖南高考)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()(A)(B)1(C)(D)(2)求函数的图像与x轴所围成的封闭图形的面积.【解题指南】(1)画出草图，分析如何用定积分表示该面积，再求解.(2)画出草图
5、，设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题.【规范解答】(1)选D.由定积分知识可得故选D.(2)所求面积为图中阴影部分的面积,由题意知A(-2,0),B(0,2),C(,0),所求图形的面积为【反思感悟】1.在求平面图形的面积时，一般需画出草图，观察图形的面积与定积分的关系；2.在x轴上侧图形对应的定积分值是正的，下侧图形对应的定积分值是负的.定积分物理意义的应用【方法点睛】定积分的物理意义的应用定积分在物理中可以用来求变速运动的速度、位移、变力做功等.加速度关于时间的积分是速度，速度关于时间的积分是位移，力关于力的方向上的位移的积分是所做的功.【例】在某介质内作变速直线运动的物体
6、，经过时间t(单位：s)所走过的路程 s4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v10 m/s时，F5N，求物体在位移区间1,4内克服介质阻力所做的功.【解题指南】由题意可以先求出阻力F，再利用变力做功公式，求物体克服阻力所做的功.【规范解答】物体经过时间t所走过的路程 s4t2,速度v(t)=s=8t.设F=kv(t)，由“当v10 m/s时，F5N”知k=，F=4t,dW=Fds=4td(4t2)=32t2dt,s1,4,t,1,物体在位移区间1，4内克服介质阻力所做的功【反思感悟】用定积分解决变速运动的位移与路程问题时,把物理问题转化为数学问题是关键.另外注意变速直
7、线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和.【易错误区】利用定积分求平面图形面积的易错点【典例】(2011新课标全国卷)由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()(A)(B)4(C)(D)6【解题指南】画出图形，确定积分区间，然后用积分求面积.【规范解答】选C.y=与y=x-2以及y轴所围成的图形面积为如图所示的阴影部分，联立得交点坐标为(4,2)，故所求面积为【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两点容易出错：(1)写错图形面积与定积分间的关系致错；(2)积分上、
8、下限确定错误，实际是解析几何的相关知识和运算能力不够致错.备考建议解决利用定积分求平面图形的面积问题时，还有以下几点容易出错，在备考时要高度关注：(1)熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量.1.(2012西安模拟)已知(3ax+1)(x+b)dx=0，a,bR，则ab的取值范围为()(A)(-,)(B)(-,)(1,+)(C)(-,1,+)(D)(1,+)【解析】选C.(3ax+1)(x+b)=3ax2+(3ab+1)x+b,ax3+(3ab+1)x2+bx=3ax2+(3ab+1)x+b.显然ab=当t0时，abab的取值范围是(-,1,+).2.(2012合肥模拟)曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为()(A)2-ln2(B)4-2ln2(C)4-ln2(D)2ln2【解析】选B.y=与直线y=x-1及x=4所围成的面积为如图所示的阴影部分，联立得在第一象限的交点为(2，1),故所求面积为=4-2ln2.3.(2012广州模拟)若则a=_;【解析】又表示圆x2+y2=4在x轴上方的面积，故答案：3 24.(2012衡水模拟)设函数f(x)=ax2+b(a0),若f(x)dx=2f(x0)，x00，则x0=_.【解析】答案：
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