1、第二节曲线与方程三年1考高考指数:内容要求ABC曲线与方程 1.曲线与方程如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x,y)=0叫做_，曲线C叫做_.曲线C的方程方程f(x,y)=0的曲线【即时应用】(1)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，那么这个方程是该曲线的方程吗？提示：不一定.因为若“曲线上点的坐标都是这个方程的解”说明这条曲线可能只是方程所表示曲线的一部分，而非整个方程的曲线.(2)思考：在方程的曲线与曲线的方程的定义中，若只满足“以这个方程的
2、解为坐标的点都是曲线上的点”，那么该曲线是这个方程的曲线吗？提示：不一定.因为若“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”说明这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程.(3)方程x2+xy=x所表示的曲线是_.【解析】因为方程x2+xy=x可化为：x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线,因此方程x2+xy=x表示的曲线为两条直线.答案：两条直线2.求曲线方程的基本步骤建系设点列式化简证明建立适当的平面直角坐标系轨迹上的任意一点一般设为P（x,y）列出或找出动点P满足的等式将得到的等式转化为关于x、y的方程验证所求方程即为所求的轨迹方程【即时应用】(1)已知
3、点A(-2,0)、B(-3,0)，动点P(x,y)满足则点P的轨迹方程是_.(2)已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为_.(3)设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边，O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是_.【解析】(1)由题意得=(-2-x,-y),=(-3-x,-y)，所以=(-2-x,-y)(-3-x,-y),又因为=x2+1,所以(-2-x,-y)(-3-x,-y)=x2+1,化简得：y2+5x+5=0.(2)设点A(x,y)，因为B(0,0)，所以AB的中点D又C(5,0),|CD|=3，所以化简
4、得：(x-10)2+y2=36.又ABC中的三点A、B、C不能共线，所以去掉点(4,0)和(16,0).(3)由题意,设点P(1,a),Q(x,y),OPQ为等腰直角三角形,且OP为直角边,即(1,a)(x,y)=x+ay=0 由,得:y2=1，x2=a2,aR,y2=1,即Q的轨迹为两条平行直线.答案：(1)y2+5x+5=0(2)(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0)(3)两条平行直线直接法求轨迹方程【方法点睛】1.直接法如果动点运动的轨迹简单明确，易于表示成含x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法.2.应用直接法时应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时
5、，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.【例1】已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程.【解题指南】可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)即可得出方程.【规范解答】设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为：P=M|MN|=|MQ|，因为圆C的半径|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，设点M的坐标为M(x,y)，则化简整理得：(2-1)
6、(x2+y2)-42x+1+42=0(0).【反思感悟】1.从题目的求解可以看出，求轨迹的方程，其关键是建立平面直角坐标系后寻找等量关系，从而得出方程；2.求解轨迹方程时，一定要注意检验，以防产生增根或漏解.定义法求轨迹方程【方法点睛】定义法求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是理解解析几何中有关曲线的定义.【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.【例2】已知动圆P与圆C1
7、:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1都外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【解题指南】设动圆P的半径为r,由动圆P与圆C1、圆C2均外切得出|C1P|=r+3，|C2P|=r+1，由此得到|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义即可得出所求轨迹及轨迹方程.【规范解答】设动圆圆心P的坐标为P(x,y)，半径为r，因为动圆P与圆C1外切，所以|C1P|=r+3，又动圆P与圆C2外切，所以|C2P|=r+1，因此|C1P|-|C2P|=2，由双曲线的定义可知其轨迹为双曲线的一支(右支).由圆C1:(x+5)2+y2=9和圆C2:(x-5)2+y2=1可知：C1(-5,0)、C2(5,
8、0)，所以双曲线的实轴长为2，焦距为10，所以所求轨迹方程为(x1).【反思感悟】1.本例是求轨迹方程，它的特点是利用题设条件，找到符合某种曲线的定义，即得出点的轨迹，进而求出轨迹方程；2.利用定义求轨迹或轨迹方程时，一定要注意曲线定义的内涵及外延，有一点不符合定义就有可能得出另外的结论.相关点(代入)法求轨迹方程【方法点睛】相关点(代入)法动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x、y表示成x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程.【提醒】用代入法求
9、轨迹方程是将x、y表示成x、y的式子，同时注意x、y的限制条件.【例3】设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.【解题指南】设点N，M，P的坐标分别为N(x,y)，M(x,0)，P(0,y),可由已知条件得出x、y与x、y之间的关系，同时得到x、y满足的方程，用代入法即可求出轨迹方程.【规范解答】设M(x,0),P(0,y)，N(x,y),由得(x-x,y)=2(-x,y),所以又因为=(x,-y)，=(1,-y),所以(x,-y)(1,-y)=0,即x+y2=0,所以-x+=0，即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.【反思感悟】1.解答本题的关键是从已知条件中发现x、y之间的关系式及x、y与x、y之间的关系；2.用代入法求轨迹方程，关键是发现相关点的轨迹方程，同时要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.
