1、第二节命题及其关系、充分条件和必要条件三年26考高考指数:1.了解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义1.充分、必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的重点和热点.2.以选择题和填空题为主，由于知识载体丰富，因此题目有一定的综合性，属于中、低档题.1.命题可以判断_的语句叫作命题,_的命题叫作真命题，_的命题叫作假命题.成立或不成立不成立成立【即时应用】判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)“sin45=1”是假命题()(2)“x2+2x-1”是命题()(3)“3是12的
2、约数吗”是假命题()(4)“x2+2x-30”是真命题()【解析】“sin45=1”能判断真假，是命题且为假命题，故(1)正确.“x2+2x-1”与“x2+2x-30”不能判断真假，不是命题，故(2)、(4)错.“3是12的约数吗”不是陈述句，不是命题，故(3)错.答案：(1)(2)(3)(4)2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系原命题若p,则q逆命题若q,则p逆否命题若q,则p否命题若p,则q互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否(2)原命题的真假性同它的逆命题、否命题及逆否命题的真假性之间的关系原命题为真，它的逆命题可以为_，也可以为_.原命题为真，它的逆否命题一定为_.原命题为真，它
3、的否命题可以为_，也可以为_.(3)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的_.两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性_.真假真真假真假性没有关系【即时应用】(1)判断下列命题是真命题还是假命题(填“真”或“假”).“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题()“正多边形都相似”的逆命题()“若m0，则x2xm=0有实根”的逆否命题()“若是有理数，则x是无理数”的逆否命题()(2)命题“若x21，则1x1”的逆否命题是_.(3)命题“对实数a，若a0，则a20”的否命题是_.【解析】(1)的否命题是“若x2y2=0，则x，y全为零”,是真命题;的逆命题是“相似形是正多边
4、形”，是错误的,故是假命题；的原命题是真命题，故它们的逆否命题也是真命题.(2)“-1x1”的否定是“x1或x-1”，“x21”的否定是“x21”，故已知命题的逆否命题是“若x1或x-1，则x21”.(3)“a0”的否定是“a0”，“a20”的否定是“a20”，故已知命题的否命题是“对实数a，若a0，则a20”.答案：(1)真 假 真 真(2)若x1或x-1，则x21(3)对实数a，若a0，则a203.充分条件和必要条件(1)“若p则q”为真命题指当p_时，q一定_，即p_可以推出q_，记作pq，并把p叫作命题q的_，q叫作p的_.(2)如果对两个命题p和q，既有pq，又有qp,就记作_,这时
5、，p既是q的_，又是q的_，就叫作p是q的_，简称_.p是q的充分必要条件指p成立_q成立，此时，命题p和命题q称为两个互相_的命题.成立也成立成立成立充分条件必要条件充分条件必要条件充分必要条件充要条件当且仅当等价【即时应用】(1)设a0，则“xa,-a”是“|x|=a”的_条件.(2)“m”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的_条件.(3)若集合A=1,m2,B=2,4，则“m=2”是“AB=4”的_条件.【解析】(1)当a0时，xa,-a|x|=a,但|x|=axa,-a,故“xa,-a”是“|x|=a”的必要而不充分条件.(2)=1-4m，当m时，0，方程x2+x+m=0有实数
6、解；若方程x2+x+m=0有实数解，则=1-4m0，m ,“m”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分而不必要条件.(3)m=2AB=4，但AB=4 m=2,故“m=2”是“AB=4”的充分而不必要条件.答案：(1)必要而不充分(2)充分而不必要(3)充分而不必要四种命题及其关系【方法点睛】1.四种命题关系的判断在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.2.命题的等价性掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直
7、接判断真假不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.【提醒】在四种命题中，真命题的个数一定为偶数个.【例1】(1)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_.(2)命题“若ab，则a-1b-1”的否命题是_.(3)(2012福州模拟)下列命题：“若a2b2,则a1,则ax2-2ax+a+30的解集为R”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题，其中正确的命题是_(只填序号).【解题指南】分清原命题的条件和结论，根据四种命题之间的关系，写出逆命题、否命题和逆否命题.在判断命题的真假时，可根据原命题与其逆否命题、原命题的逆命题与否命题的等价性来判断.【规范解答】(1
8、)逆命题是将原命题的结论与条件互换位置，故该命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题，故该命题的否命题是“若ab，则a-1b-1”.(3)的否命题为“若a2b2,则ab”,是假命题；的逆命题为“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，显然是假命题；对于，当a1时，=(-2a)2-4a(a+3)=-12a0,B=xR|x0,则“xAB”是“xC”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件【解题指南】(1)判断pq和qp是否成立.(2)求出集合C及AB，根据两集合的关系判断.
9、【规范解答】(1)选A.由(a-1)(a-2)=0得a=1或a=2，所以a=2(a-1)(a-2)=0，但(a-1)(a-2)=0a=2，故a=2是(a-1)(a-2)=0的充分而不必要条件.(2)选C.集合C的解集是x|x2,AB=x|x2,AB=C，故选C.【反思感悟】判断充分、必要条件时应注意的问题(1)要弄清先后顺序：“A的充分而不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分而不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A;(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；(3)要注意转化：若p是q的必要而不充分条件，则p
10、是q的充分而不必要条件；若p是q的充要条件，那么p是q的充要条件.充分条件、必要条件的应用【方法点睛】充分条件、必要条件的应用解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.【例3】已知集合M=x|x-3或x5，P=x|(x-a)(x-8)0.(1)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分而不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要而不充分条件.【解题指南】求a的取值范围使它成为MP的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，
11、求出成立时a的取值范围.【规范解答】(1)由 MP=x|5x8，得-3a5，因此MP=x|5x8的充要条件是a|-3a5；(2)求实数a的一个值，使它成为MP=x|5x8的一个充分而不必要条件，就是在集合a|-3a5中取一个值，如取a=0，此时必有MP=x|5x8；反之，MP=x|5x8未必有a=0，故a=0是所求的一个充分而不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MP=x|5x8的一个必要而不充分条件就是另求一个集合Q满足所述条件，故a|-3a5是集合Q的一个真子集.如果a|a5时，未必有MP=x|5x8，但是MP=x|5x8时，必有a5，故a|a5是所求的一个必要而不充分条件.【反思
12、感悟】解答本例(2)，(3)时，需借助(1)的结论，即求某一个结论的充分而不必要条件或必要而不充分条件时，一般是先求出这个结论的充要条件.【创新探究】探求结论成立的充要条件【典例】(2011陕西高考)设nN*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_.【解题指南】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等概念进行判断、计算.【规范解答】因为x是整数，即2为整数，所以为整数，且n4,又因为nN*，取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意，所以n=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.答案：3或4【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新
13、点拨和备考建议：创新点拨本题有以下两个创新的命题角度：(1)本题以一元二次方程为背景，探求方程有整数根的充要条件.(2)此类题目的特点是给出结论，未给条件.备考建议在解决此类问题时，有以下两个备考建议需特别关注：(1)解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性.(2)解答时应思路清晰，可在平时多加练习.1.(2012漳州模拟)已知m,nR,则“m0”是“mn0”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选D.若m0,则mn0不一定成立，反之若mn0,则不一定能推出m0,故选D.2.(
14、2012厦门模拟)已知a,b是非零向量，则a2=b2是a=b的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选B.a,b是非零向量，若a2=b2,则|a|=|b|,a=b不一定成立，即a2=b2a=b;反之，若a=b,则a2=b2,即a=ba2=b2.a2=b2是a=b的必要而不充分条件.3.(2011山东高考)已知a，b，cR，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c23”的否命题是()(A)若a+b+c3，则a2+b2+c23(B)若a+b+c=3，则a2+b2+c21”是“|x|1”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选A.判断条件的关系，首先对条件进行等价化简，再利用小范围是大范围的充分条件得结论.|x|1x1或x1是它的小范围，所以“x1”是“|x|1”的充分而不必要条件.
