1、第二节直线的交点坐标与距离公式三年2考高考指数:1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考的重点；2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查.1.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_；重合方程组有_.唯一解无解无数组解【即时应用】(1)思考：如何用两直线的交点
2、判断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合.(2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组得：，直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2)(3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组无解，直线l1与l2平行.答案：平行2.距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+
3、By+C=0的距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离【即时应用】(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_；(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=_；(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为_.【解析】(1)因为d=(2)依题设及两点间的距离公式得：=17,解得：a=8；(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：d=答案：(1)(2)8 (3)两直线的交点问题【方法点睛】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.过直线A1x+B1y+
4、C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)【例1】(1)(2012 广州模拟)经过点(2，3)且经过两条直线l1:x+3y-4=0,l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程为_.(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件.【规范解答】(1)方法一：解方程组,得l1与l2的交点是(
5、-2，2)，由两点式得所求直线的方程为,即x-4y+10=0.方法二：由于点(2,3)不在直线5x+2y+6=0上，故设所求直线方程为：x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R)点(2，3)在直线上，2+33-4+(52+23+6)=0,故所求直线方程为x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0,即x-4y+10=0.(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为，l2的方程为x=，两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，nR；当m0时，两直线相交，解得m4，此时，实数m、n满足的条件为m4，nR.【反思感悟】1.本例(1)中是求
6、直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求的值;2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在.距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法设点A(xA,yA),B(xB,yB)，|AB|=特例：ABx轴时，|AB|=|yA-yB|ABy轴时，|AB|=|xA-xB|.2.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线
7、上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等.【例2】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；(2)由点P(x0,y0)满足条
8、件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件.【规范解答】(1)l2为l1与l2的距离为d=a0,a=3.(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+c=0上且即c=或 或若P点满足条件，由点到直线的距离公式有：即|2x0-y0+3=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P在第一象限，3x0+2=0不可能.联立方程和x0-2y0+4=0,解得由，得存在P()同时满足条件.【反思感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组)，这是很关键的问
9、题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解.对称问题【方法点睛】1.对称中心的求法若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即2.轴对称的两个公式若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.故有3.对称问题的具体应用(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求;当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决.(2)在直线上求一点，使它到
10、两定点距离之差的绝对值最大问题当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决.【例3】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称点在已知曲线上，即可求得.【规范解答】方法一：由解得直线a与l的交点E(3,-2)，E点也在直线b上.在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设
11、A点关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0)，由解得由两点式得直线b的方程为即2x+11y+16=0.方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).则解上式得：由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程.【反思感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程问题，通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解.2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程.【创新探究】新定义下的直线方程问题【典例】(2012上
12、海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义OP=|x|+|y|，其中O为坐标原点.对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线x+2y-2=0上任意一点，则OP的最小值为1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号).【解题指南】根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题.【规范解答】由OP=1，根据新定义得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1x0)，y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1)
13、,画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；当点P为(，0)时，OP=|x|+|y|=+01,所以OP的最小值不为1，故错误；所以正确的结论有：.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下两处创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查.(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同.备考建议解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体
14、化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何.1.(2012珠海模拟)直线l1的斜率为2,l1l2，直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()(A)(3，0)(B)(-3，0)(C)(0，-3)(D)(0，3)【解析】选D.点P在y轴上，设P(0,y),又y=3,P(0,3).2.(2012韶关模拟)若三条直线l1:x+y=7,l2:3x-y=5,l3:2x+y+c=0不能围成一个三角形，则c的值为_.【解析】l1、l2、l3的斜率都不相等，l1、l2、l3中的任两条都不平行.又l1、l2、l3不能围成一个三角形，l1、l2
15、、l3相交于一点.由,得23+4+c=0，解得c=-10.答案：-103.(2012广州模拟)设直线l经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为_.【解析】当l与过两点的直线垂直时，B(2,-1)与直线l的距离最远，因为kAB=，所以,因此所求直线的方程为：y-1=(x+1)，即3x-2y+5=0.答案：3x-2y+5=04.(2011安徽高考)设直线l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.【解题指南】(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1与l2不相交,之后推出矛盾.(2)可以求出交点，代入方程；也可消去参数k1、k2，得出椭圆方程.【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1k2，即l1与l2相交.(2)方法一：由方程组得得交点P的坐标(x,y)为而此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.方法二：交点P的坐标(x,y)满足，显然x0，从而，代入k1k2+2=0，得，整理得：2x2+y2=1,所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.
