1、立体几何(5)1.2020山东滨州质量检测如图，在四棱锥P ABCD中，PD底面ABCD，ADBC，ABC90，BCD45，BC2AD.(1)求证：BDPC；(2)若PCBC，求平面PAD和平面PBC所成的角(锐角)的余弦值22020浙江卷如图，在三棱台ABC DEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC.(1)证明：EFDB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值32020山东泰安质量检测如图，在三棱锥P ABC中，PAC为等腰直角三角形，APC90，ABC为正三角形，D为AC的中点，AC2.(1)证明：PBAC；(2)若三棱锥P ABC的体积为，求二面角A PC B的
2、余弦值42020山东临沂模拟如图，已知矩形ABCD中，AB2AD2，点E是CD的中点，将BEC沿BE折起到BEC的位置，使二面角C BE C是直二面角(1)证明：BC平面AEC；(2)求二面角C AB E的余弦值52020新高考卷如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值62020山东师大附中模拟如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1.(1)求证：平面DAF平面CBF；(2
3、)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，二面角D FE B的大小为60.立体几何(5)1解析：(1)证明：取BC的中点E，连接DE，因为BC2AD，所以ADBE，又因为ADBC，所以四边形ABED是平行四边形，因为ABC90，所以四边形ABED是矩形，所以DEBC，又BCD45，所以DECEBC，所以BCD是直角三角形，即BDCD，又PD底面ABCD，BD底面ABCD，所以BDPD.又CD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，所以BD平面PCD，又PC平面PCD，所以BDPC.(2)如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐
4、标系D xyz，设AD1，则BC2，由(1)知DE1，DC，DB又PCBC，所以PD.所以B(，0,0)，C(0，0)，P(0,0，)，E所以(，0)，(0，)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则所以即取x1，则y1，z1.所以平面PBC的一个法向量为n(1,1,1)又平面PAD的一个法向量为m所以cosm，n所以平面PAD和平面PBC所成的角(锐角)的余弦值为.2解析：(1)如图，过点D作DOAC，交直线AC于点 O，连接OB.由ACD45，DOAC得CDCO.由平面ACFD平面ABC得DO平面ABC，所以DOBC.由ACB45，BCCDCO得BOBC.所以BC平面BDO，故BCDB.
5、由三棱台ABC DEF得BCEF，所以EFDB.(2)解法一：如图，过点O作OHBD，交直线BD于点H，连接CH.由三棱台ABC DEF得DFCO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角由BC平面BDO得OHBC，故OH平面BCD，所以OCH为直线CO与平面DBC所成角设CD2.由DOOC2，BOBC，得BD，OH，所以sinOCH，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.解法二：由三棱台ABC DEF得DFCO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为.如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz.
6、设CD2.由题意知各点坐标如下：O(0,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)因此 (0,2,0)，(1,1,0)，(0，2,2)设平面BCD的法向量n(x，y，z)由即可取n(1,1,1)所以sin |cos，n|.因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.3解析：(1)证明：PAC为等腰直角三角形，D为AC中点，PDAC，又ABC为正三角形，D为AC中点，BDAC，又PDBDD，PD，BD平面PBD，AC平面PBD，又PB平面PBD，PBAC.(2)设三棱锥P ABC的高为h.BDBCsin 60，VP ABCACBDhh，h1，又PDAC1，PD平面ABC，如图
7、，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1,0,0)，P(0,0,1)，(0，0)，(1,0,1)，(1，0)设n(x，y，z)为平面PBC的一个法向量，则即令x1，得n，又是平面PAC的一个法向量，cos ，n.由图知二面角A PC B的平面角为锐角，二面角A PC B的余弦值为.4解析：(1)证明：四边形ABCD是矩形，AB2AD2，点E是CD的中点，ADE，BCE都是等腰直角三角形，AEB90，即AEBE.又二面角C BE C是直二面角，即平面CEB平面ABE，平面CEB平面ABEBE，AE平面ABE，AE平面CEB.又BC平面CBE，BCA
8、E.又BCEC，AE，EC平面AEC，AEECE，BC平面AEC.(2)取BE的中点O，连接CO，易知CO平面ABE.过O点作OFAE，交AB于点F.AEEB，OFOB.以O为坐标原点，OF，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，则O(0,0,0)，A，B，C，.设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则即取y1，则z1，x1，n(1,1,1)为平面ABC的一个法向量CO平面ABE，为平面ABE的一个法向量，cos ，n，易知二面角C AB E为锐二面角，故二面角C AB E的余弦值为.5解析：(1)因为PD底面ABCD，所以PDAD.又底面ABC
9、D为正方形，所以ADDC.因此AD平面PDC.因为ADBC，AD平面PBC，所以AD平面PBC.由已知得lAD.因此l平面PDC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，(0,1,0)，(1,1，1)由(1)可设Q(a,0,1)，则(a,0,1)设n(x，y，z)是平面QCD的法向量，则即可取n(1,0，a)所以cosn， .设PB与平面QCD所成角为，则sin .因为 ，当且仅当a1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.6解析：(1)证明：平面ABCD平面A
10、BEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF平面CBF，AF平面ADF，平面DAF平面CBF.(2)根据(1)的证明，有AF平面CBF，FB为AB在平面CBF内的投影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角，ABEF，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FHAB，交AB于H，AB2，EF1，则AH，在RtAFB中，根据射影定理AF2AHAB，得AF1，sinABF，ABF30，直线AB与平面CBF所成角的大小为30.(3)设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系(如图)设ADt(t0)，则点D的坐标为(1,0，t)，则C(1,0，t)，又A(1,0,0)，B(1,0,0)，F，(2,0,0)，设平面DCF的法向量为n1(x，y，z)，则即，令z，解得x0，y2t，n1(0,2t，)由(1)可知AF平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2，cos 60，即，解得t，因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60.
