1、第二节函数的单调性与最值三年9考高考指数:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图象及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有:(1)f(x)在区间D上是增函数_；(2)f(x)在区间D上是减函数_.f(x1)f(x2)【即时应用】(1)如果函数f(x)在a,b上是增函数，对于任
2、意的x1、x2a,b(x1x2)，判断下列结论的真假(在括号内填“真”或“假”)；()(x1-x2)f(x1)-f(x2)0；()f(a)f(x1)f(x2)f(b)；()()(2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)_f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_.(3)若函数y=ax与在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是_函数(填“增”或“减”).【解析】(1)当函数f(x)在a,b上是增函数时，对于任意的x1、x2a,b(x1x2)，能得出真，假(2)由减函数的定义知，若mf(n);若f(|x|)1,得:x1或x x|x1或x0),因为y=
3、log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(，+)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+).答案：(，+)(2)方法一：定义法：设x1x2-1,则y1-y2=x1x2-1,x2-x10,x2+10,即y1-y20,y1y2.y=在(-1,+)上是减函数.方法二：导数法：在(-1，+)上，y0,故y=在(-1,+)上为减函数.【反思感悟】判断(或证明)函数单调性(区间)，一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减)区间不连续时，一般不能用并集符号连接.应用函数的单调性【方法点睛】应用函数
4、的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解.(2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在0,
5、2上的单调性或-2,2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-m0.解得:m1.所以m的取值范围为:(-,-2)(1,+).答案：(-,-2)(1,+)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称，函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在0,2上单调递减,函数y=f(x-2)在2,4上单调递增，因此,y=f(x)在0,2上单调递增，又f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).方法二：
6、由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图象的大致形状为由图象知f(2)f(-1)f(0).12-1-2xyf(0)f(2)f(-1)【反思感悟】1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.求函数的最值【方法点睛】求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再
7、观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【例3】(1)已知函数f(x)=,则f(x)在,2上的最大值为_，最小值为_.(2)函数y=的最大值为_.(3)(2012珠海模拟)已知函数f(x)=kx3-3kx2+b在-2,2上最大值为3,最小值为-17,求k、b的值.【解题指南】(1)可用单调性法；(2)选用换元法，转化为二次函数求解最值.(3)求导后,对k分大于
8、0和小于0讨论,确定单调区间,根据最值列出含有k、b的方程组,解方程组可得.【规范解答】(1)f(x)=在,2上为减函数，f(x)min=f(2)=f(x)max=答案:(2)令则y=当t=时，ymax=.答案:(3)由题设知k0且f(x)=3kx(x-2),0 x2时,x(x-2)0;x2时,x(x-2)0;x=0和x=2时,f(x)=0,由题设知-2x2,f(-2)=-20k+b,f(0)=b,f(2)=-4k+b.k0时,-2x0时,f(x)0;0 x0,f(x)在(-2,0)上递减,在(0,2)上递增,x=0为f(x)的极小值点,也是最小值点;f(-2)f(2),f(x)的最大值是f(
9、-2).解解得k=-1,b=-17.k0时,-2x0;0 x2时,f(x)0,f(x)在(-2,0)上递增,在(0,2)上递减,x=0为f(x)的极大值点,也是最大值点;f(-2)f(2),f(x)的最小值是f(-2),解解得k=1,b=3,综上,k=-1,b=-17或k=1,b=3.【反思感悟】求函数的最值常结合解析式的特点而选取适当的方法.(1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最值一般在端点处取得；(2)基本不等式法：当函数的解析式可化为和为定值或积为定值时可用此法；(3)导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；(4)数形结合法：所给函数易画出
10、其图象时，可结合图象求最值；(5)对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值.【易错误区】确定与应用分段函数单调性中的误区【典例】(2012南京模拟)已知函数则满足不等式f(1-x2)f(2x)的x的取值范围是_.【解题指南】可结合函数的图象以及f(1-x2)f(2x)的条件，得出1-x2与2x之间的大小关系，进而求得x的取值范围.也可分1-x20，1-x20讨论求解.【规范解答】方法一：画出的图象，由图象可知，若f(1-x2)f(2x)，则即得x方法二：当x=-1时，1-x2=0,则f(0)=1,f(-2)=1,无解;当-10,f(1-x2)f(2x)化为(
11、1-x2)2+11，恒成立,当00,原不等式化为(1-x2)2+1(2x)2+1,即(x+1)22,当1-x2f(2x)，得1-x22x,却忽略了1-x20而失误.备考建议解决分段函数的单调性问题时，还有以下几点，在备考中要高度关注：(1)抓住对变量所在区间的讨论；(2)保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系.(3)弄清最终结果取并还是交.1.(2011新课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，+)上单调递增的函数是()(A)y=x3 (B)y=|x|+1(C)y=-x2+1 (D)y=2-|x|【解析】选B.函数y=x3是奇函数，故可排除A，当x0时，y=|x|+1=
12、x+1，是增函数，y=-x2+1是减函数，y=2-|x|=2-x=为减函数.2.(2012深圳模拟)函数的单调减区间为()(A)(0,+)(B)(0,4)和(4,+)(C)(-,4)和(4,+)(D)(-,+)【解析】选C.函数,f(4)=故函数的单调减区间为(-,4)和(4,+).3.(2012江门模拟)已知函数若f(2-a2)f(a)，则实数a的取值范围是()(A)(-,-1)(2,+)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-,-2)(1,+)【解析】选C.f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-,+)上是单调增函数，由f(2-a2)f(a)得2-a2a,即a2+a-20,解得-2a1.
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