1、第七节离散型随机变量及其分布列三年16考高考指数:1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.1.离散型随机变量的分布列及其性质是高考的重点；2.古典概型以及互斥事件的概率问题是解决离散型随机变量及其分布列的基础；3.题型以选择题和填空题为主，与期望及方差结合则以解答题为主.1.随机变量有关概念(1)随机变量：随着试验结果_的变量，常用字母X,Y,，表示.(2)离散型随机变量:所有取值可以_的随机变量.变化而变化一一列出【即时应用】(1)判断下列事件中的X是否为离散型随机变量.(请在括号中填写“是”
2、或“否”)某机场候机室中一天游客的数量为X；()某人一天收到的短信息的条数X；()某水文站观察到一天中长江的水位X；()某立交桥一天经过的车辆数为X.()(2)有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数的所有可能取值是_.【解析】(1)中的随机变量X可能取的值，可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.(2)可能第一次就取得合格品，也能取完次品后才取得合格品.所以的所有可能取值为0,1,2,3.答案:(1)是 是 否 是(2)0,1，2,32.离散型随机变量的分布列
3、的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,x1,x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi，则表xx1x2xiXnPp1p2pipn称为离散型随机变量X的_，简称为X的分布列，有时也用等式_表示X的分布列.(2)性质：_；_.概率分布列P(X=xi)=pi,i=1,2,npi0(i=1,2,n)【即时应用】(1)设X是一个离散型随机变量，判断下列各组是否为X的分布列.(请在括号中填写“是”或“否”)()()X12345P00010X1234P0.10.20.30.4 (a为实数)()P(X=xi)=(i2，iN*)()(2)
4、已知随机变量X的分布列为P(Xk)k1,2，则P(2X4)等于_.(3)设随机变量X的概率分布为P(X=xi)=a()i,i=1,2,3，则a=_.X01Pa1-a【解析】(1)符合分布列的性质，中a0时，不满足分布列的性质.(2)P(2X4)P(X3)P(X4)=(3)由分布列的性质，得a()=1,a=答案：(1)是 是 否 是(2)(3)3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为,其中p=_称为成功概率.P(X=1)XP011-pp(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件X=k发生的概率为P(X=k)=_,k=0
5、,1,2,m,其中_,且nN,MN,n,M,NN*,如果随机变量X的分布列具有下表形式m=minM,n则称随机变量X服从超几何分布.XP01m【即时应用】(1)思考：如果随机变量X的分布列由表给出，它服从两点分布吗？提示：不服从，因为随机变量X的取值不是0和1.X25P0.30.7(2)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X4)的值为_.【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X4)答案：离散型随机变量分布列的性质【方法点睛】1.分布列性质的作用(1)利用分布列中各事件概率
6、之和为1可求参数的值.(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.2.随机变量组合的分布列问题(1)随机变量是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量的线性组合=a+b(a,bR)也是随机变量.(2)求=a+b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列.【提醒】求分布列中参数的值时应保证每个概率值均为非负数.【例1】(1)若随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3)，则P(X=2)=()(A)(B)(C)(D)(2)已知随机变量的分布列为求1=的分布列.-2-10123P【解题指南】(1)根据分布列的性质求出
7、a的值是关键；(2)根据1与的对应关系求出1的值及相应概率.【规范解答】(1)选C.a=3,P(X=2)=(2)由于对于不同的有不同的取值所以有所以1的分布列为-2-10123P-101-101P【反思感悟】由于的不同的值，=f()会取到相应的值，这时要考虑所有使f()=成立的1,2，,i的值，则P()=P(f()=P(1)+P(2)+P(i).离散型随机变量的分布列【方法点睛】1.分布列的表示方法分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示.在分布列的表格表示中，结构为2行n+1列，第1行表示随机变量的取值，第2行是对应的变量的概率.2求分布列的步骤第一步：明确随机变量的取值范围；第二步：求出
8、每一个随机变量取值的概率；第三步：列成表格.【例2】(2012清远模拟)某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表.现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；(3)记表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求的分布列.男女甲科室64乙科室32性别人数科室【解题指南】(1)分层抽样中各层抽取的人数比等于层次数比.(2)采用直接法，从甲科室中抽取两人，至少有一名女性，包括一男一女，两女两种情况，或采用对立事件法求.(3)明确的所有
9、可能取值，并分别求出其概率，概率总和为1.【规范解答】(1)从甲科室中抽取的人数为10=2，从乙科室中抽取的人数为5=1.(2)从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率P=(或P=)(3)的可能取值为0，1，2，3P(=0)=P(=1)=P(=3)=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=(或P(=2)=)的分布列为0123P()【反思感悟】分布列求解的注意点：(1)搞清随机变量每个取值对应的随机事件；(2)计算必须准确无误；(3)注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.超几何分布的概率问题【方法点睛】1.超几何分布的特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变
10、量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型.【例3】有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列.【解题指南】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.【规范解答】X的所有可能取值为 0,1,2,3，X0表示取出的5件产品全是正品，P(X=0)=X=1表示取出的5件产品有1件次品4件正品,P(X=1)=X=2表示取出的5件产品有2件次品3件正品,P(X=2)=X=3表示取出的5件产品有3件次品2件正
11、品,P(X=3)=所以X的分布列为X0123P【反思感悟】1.处理概率分布问题首先应该明确分布类型，若是熟悉的分布问题，可直接运用相关公式或结论求解.2.超几何分布列给出了求解问题的方法,可以通过公式直接运用求解，但不能机械地记忆公式.要在理解的前提下记忆，在超几何分布中，只需知道N，M和n就可以根据公式，求出X取不同m值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列.【满分指导】离散型随机变量分布列主观题的规范解答【典例】(12分)(2011江西高考)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮
12、料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1)求X的分布列：(2)求此员工月工资的期望.【解题指南】(1)根据超几何分布的概率模型，易得X的分布列.(2)结合第一问月工资为3 500的概率对应X=4的概率，2 800对应X=3的概率，2 100对应X2的概率，易得月工资的期望.【规范解答】(1)X的所有可能取值为：0，1，2，3，4.P(X=i)=(i=0,1,2,3,4)3分X的分布列为：6分X01
13、234P(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800，3 500则P(Y=3 500)=P(X=4)=P(Y=2 800)=P(X=3)=P(Y=2 100)=P(X2)=9分E(Y)=3 500 +2 800 +2 100 =2 280.所以此员工月工资的期望为2 280元.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)不能识别超几何概率模型，造成计算错误；(2)不能将员工工资与随机变量X建立对应关系.备考建议解决离散型随机变量分布列时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度
14、关注：(1)对随机变量的理解不到位，造成对随机变量的取值求解错误；(2)求错随机变量取值的概率，造成所求解的分布列概率之和大于1或小于1，不满足分布列的性质；(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象.1.(2012梅州模拟)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()(A)P(X2)(B)P(X2)(C)P(X4)(D)P(X4)【解析】选C.15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X4)2.(2012东莞模拟)随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P()的值为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由题意得P()=P(X=1)+P(X=2)=3.(2012汕头模拟)一离散型随机变量的概率分布如下表：且E()=1.5，则a-b=_.0123P0.1ab0.1【解析】由题意得即 a-b=0.答案：0
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