1、2020-2021学年度高三数学期中考试卷第卷（选择题）一、单选题（每题5分，共12小题，共60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，求出A的补集，再根据并集的概念，即可求出结果【详解】或，又，故选：D2. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部是A. B. C. 3D. -3【答案】C【解析】【分析】本道题目可以设出,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设,代入原式得到结合待定系数法得到,解得,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指的系数.3. 已知向量、夹角为，且，则（ ）A. B. C.
2、4D. 2【答案】C【解析】【分析】利用及数量积的定义计算【详解】，即或（舍）故选：C.4. 设的内角所对边分别为则该三角形（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数【详解】由正弦定理得，所以，或，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、，该三角形解的个数判断如下：（1）为直角或钝角，一解；，无解；（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.5. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. 的最小正周期为
3、B. 的图象关于直线对称C. 是的一个零点D. 在区间单调递减【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可.【详解】，对于A，的最小正周期为，正确；对于B，时，为最小值，的图象关于直线对称，正确；对于C， 时，是的一个零点，正确；对于D，在区间上不是单调函数，错误，故选：D.【点睛】本题通过对多个命题真假判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的
4、隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.6. 设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，值为（ ）A. 6B. 6或7C. 8或9D. 9【答案】A【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据，求得，再由前项和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以所以所以当时，取得最小值，故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式以及二次函数最值问题，属于基础题.7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足且三边a，b，c成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【
5、答案】B【解析】【分析】根据题意得到，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】三边a，b，c成等比数列，即，根据余弦定理，即，.故为等边三角形.故选：.【点睛】本题考查了等比数列性质，余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的综合应用能力.8. 向量，若三点共线，则的值为（ ）A. -2B. 11C. -2或11D. 2或-11【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算，结合向量的共线的条件，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，向量，则，因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线条件的应用，其中解答中熟记向量的共线条件，准确计
6、算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 向量，则（ ）A. 2B. C. 2或D. 或3【答案】C【解析】【分析】先求出的坐标，再根据数量积为0列方程计算即可【详解】由，得所以，即，解得或故选：C10. 等比数列的前项和为，若，成等差数列，则的公比等于（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】依题意有，从而得出，由此即可求出公比.【详解】因为，成等差数列，所以，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查等差中项，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.11. 下列函数：，在上是增函数且为偶函数的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【
7、答案】A【解析】【分析】利用指数函数和幂函数的、分段函数的性质即可得出正确答案.【详解】函数在上是减函数，即不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，是偶函数，又在上是增函数，符合题意，函数是奇函数在单调递减，不合题意， 既不奇函数又不是偶函数，不合题意，所以符合题意的函数有1个，故选：A12. 各项不为的等差数列，满足，数列是各项为正的等比数列，且，则的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】由求得，然后求得，最后根据，即可得到本题答案.【详解】因为是各项不为0的等差数列，所以，联立，得，解得或（舍去）；因为数列是各项为正的等比数列，且，所以，则的最小值是8.故选
8、：C【点睛】本题主要考查等差数列性质、等比数列性质与基本不等式的综合问题.第卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共4小题，共20分）13. 中，内角、所对的边分别是、，已知，且，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.【详解】，由边角互化思想得，即，由余弦定理得，所以，因此，故答案为.【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，解题时要结合三角形已知元素类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.14. 若向量
9、，则，的夹角的度数为_【答案】【解析】分析】设向量，的夹角为（），由，得，再根据数量积的定义求夹角【详解】设向量，的夹角为（），又，故答案为：0【点睛】关键点点睛：数量积的定义，数量积的运算性质，是处理向量问题的关键所在，本题需要结合向量垂直的性质、夹角公式,注意向量夹角的范围15. 设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】利用an=SnSn1构造新数列，即可求解数列an的通项公式.【详解】由Sn=2an+n（nN*），当n=1时，可得S1=2a1+1，即a1=1当n2时，an=SnSn1=2an+n（2an1+n1）=2an2an1+1即an=2an11可得：（a
10、n1）=2（an11）可得an1是公比为2的等比数列，首项为2an1=22n1即an=2n+1故答案为【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键.16. 将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg（x）的图象，则下列关于函数yg（x）的说法正确的序号是_（1）当时，函数有最小值； （2）图象关于直线对称；（3）图象关于点对称； （4）在上是增函数【答案】（1）、（2）【解析】【分析】由三角函数图象的变换及三角函数图象的性质逐一判断即可得解【详解】由已知将函数的图象向右平移个单位，得函数解析式为h（x）2sin4
11、（x）2sin（4x），再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数yg（x）的图象，则g（x）2sin（2x），对于（1），当时，2x，函数有最小值，即（1）正确，对于（2），令2xk，则x，即k1时，图象关于直线对称，即（2）正确，对于（3），令2xk，则x，即图象关于点（）对称，即（3）错误，对于（4），令2k2x，解得kxk，即函数在上不单调，即（4）错误，综上，关于函数yg（x）的说法正确的序号是（1）、（2），故答案为（1）、（2）【点睛】本题考查了三角函数图象的变换及三角函数图象的性质，熟记基本性质，准确计算是关键，属中档题三、解答题（共70分）17. 设分别为的三个内角的对边，
12、且.（）求内角的大小；（）若，试求面积的最大值.【答案】（）； （）.【解析】【分析】（I）利用正弦定理，由已知可得，再根据余弦定理，得出cosA的值，结合A为锐角，即可得解A的值；（II）利用已知及余弦定理和基本不等式可求得bc的最大值，进而利用三角形的面积公式求解.【详解】（）已知sinB 根据正弦定理，得 ，即， 又， .（）由（）及余弦定理， ，即， 当且仅当时取等号 .故面积的最大值为.【点睛】本题综合考查了正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式在解三角形中的应用；在解三角形中求最值问题有两种方法：将要求的量转化为某一角的三角函数，借助三角函数的值域求最值；将要求的量转化为边的形式
13、，借助基本不等式求最值.18. 已知函数.求（1）的值；（2）函数的最小正周期；（3）在上的取值范围.【答案】（1）0；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据函数解析式代入即可得解；（2）利用二倍角公式逆用结合辅助角公式化简即可得解；（3）结合（2）可得，即可得到值域.【详解】（1）由题意得；（2）因为，所以函数的最小正周期为；（3）当时，所以，则，故在上的取值范围是.【点睛】此题考查三角函数化简求值，根据三角恒等变换求函数的最小正周期，利用整体代入方法求解函数值域，属于中档题.19. 正项等比数列的前n项和为，且（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分
14、析】（1）首先判断公比不为1，再由等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）可得，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】解：（1）若公比，不成立；则由于正项等比数列，所以，所以所以，解得或（舍去）所以；（2）【点睛】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及方程思想和化简运算能力，属于中档题20. 在各项均为正数的等比数列中，（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前n项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）已知数列是等比数列，要求通项公式，由已知条件采用基本量法，即用首项和公比q表示出已知，并解出
15、即可；（）是由一个等差数列与等比数列对应项相乘形成的，因此求其前n项和是用错位相减法【详解】（）设等比数列的首项为，公比为q（），由己知得，则解得，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，即.（）由（）得所以（1）（2）由（1）（2），得【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，错位相减法求和数列求和的常用方法：设数列是等差数列，是等比数列， （1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（
16、5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和21. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，E、G、F分别为、的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明平面，再利用线线平行证明平面，即证面面垂直；（2）先利用中位线证明，再由此证明面面平行即可.【详解】解析：（1）证明：由已知平面，平面又平面，四边形为正方形，又，平面，在中，G、F分别为、的中点，平面又平面，平面平面（2）E、G、F分别为、的中点，又四边形是正方形，、在平面外，、在平面内，平面，平面，又、都在平面内且相交，平面平面【点睛】本题考查了线线、
17、线面、面面之间平行与垂直关系的转化，属于中档题.22. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求在区间上的最大值和最小值；（3）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）由可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；（2）由，可得，所以在区间上单调递增，从而可得最值；（3）当时，.设，分析可知在区间上单调递减，且，所以存在唯一的，使，即，结合函数单调性可得解.试题解析：（1）当时，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，所以当时，所以.所以在区间上单调递增因此在区间上的最大值为，最小值为. （3）当时，.设，因为，,所以.所以在区间上单调递减因为，所以存在唯一的，使，即.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减因为，又因为方程在区间上有唯一解，所以.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.