1、 数学（理）试题第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（ ）A1 B1 C2 D22. 已知集合，若，则的子集个数为（ ）A5 B4 C3 D23. 在中，分别是三等分点，且，若，则（ ）A B C D4. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）5.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120的三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A B C. D6. 已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件7
2、. 已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题：若，且，则若，且，则若，且，则若，且，则其中正确命题的个数是（ ）A4 B3 C. 2 D18. 设函数为偶函数，且；满足，当时，则当时，（ ）A B C. D9. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（ ）A18 B50 C. 78 D30610. 已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（ ）A B C. D第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 观察下列各式：照此规律，当时， 12.已知中，分别为内角的对边，且，则 13.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自
3、阴影部分的概率为 14.将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有 种（用数字作答）15.已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知函数在处取得最值，其中.（）求函数的最小正周期；（）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，求.17. （本小题满分12分）如图所示几何体中，四边
4、形和四边形是全等的等腰梯形，且平面平面，为线段的中点.（）求证：；（）求二面角（钝角）的余弦值.18. （本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且.（）求数列的通项公式；（）记，求.19. （本小题满分12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表,规定：三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（）求和频率分布直方
5、图中的的值；（）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率；（）在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中为等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30的直线与圆相交所得弦的长度为1.（）求椭圆的方程；（）若动直线交椭圆于不同两点，设，为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.21. （本小题满分12分）函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若是极大值点.（）当时
6、，求的取值范围；（）当为定值时，设是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:DBABB 6-10: ACDCD 二、填空题11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题16.解：（）在处取得最值，（）将函数的图象向左平移个单位，得到再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到故可解：因为为锐角，所以因此故.17. 证明：（）连接，为中点，四边形为平行四边形，,，又，为等边三角形，四边形是菱形，,又平面平面，且平面平面，平面，又平面，.（）连结，梯形和梯形全等，同理得，又由（）得
7、平面，以为坐标原点，以所在直线分别作为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，设，则，可得，则设平面的法向量为，则得令，则，故取平面的一个法向量，.同理可求平面的一个法向量为，所以，又因为二面角为钝角，故其余弦值为.18. 解：（），得：，又由得，即，（舍去）.，是以1为首项，1为公差的等差数列，.又得：又由，可求，故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.（）由（）得：，得：，由，19. 解：（）由题意可知，样本容量（）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格
8、等级的事件为，则；（）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故的取值为0，1，2，3，所以的分布列为：20. 解：（）由题意知得，即. 因为直线过左焦点且倾斜角为30可得直线方程为又因为直线与圆相交弦长为1，所以圆心到直线距离，再由勾股定理得：由联立可知即椭圆方程为（）（）当直线的斜率不存在时，因为以线段为直径的圆过原点，所以，即，所以，即，又因为点在椭圆上，所以，把代入得：，所以.（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为交于不同两点，所以，即，由韦达定理得：，由题意知即，又，所以，代入整理得.又点到直线的距离，所以，将代入得，综上，三角形的面积为定值1.21.解：（）当时，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）（）当时，令，故有两根，不妨设，当与有一个为零时，不是的极值点，故与均不为0；当或时，是函数的极小极点，不合题意；当时，是函数的极大值.，即，.（），令，因此，有两根，不妨设，又因为为极大值点，所以的三个极值点分别为，且.其中，若，即也即时有：或，所以，或；若不成等差数列，则需：或，当时，于是，即，故，此时，同理当时，.综上所述：当时，当时，当时，.
