1、当90时，a与b垂直，记作_；当0时，a与b_；当180时，a与b_2已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab_.3规定：0a_.0180ab同向反向|a|b|cos 04(1)设是a与b的夹角，则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影，|b|cos 叫做b在a的方向上的投影b在a的方向上的投影是一个实数，而不是向量当090时，它是_；当90180时，它是_；当90时，它是_.(2)ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的_ 5设a和b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角(1)eaae|a|c
2、os.(2)ab ab_.正值负值乘积00(3)当a与b同向时，ab_；当a与b反向时，ab_特别地，aa_.(5)ab_|a|b|.6(1)ab_.(2)(a)b(ab)_(R)(3)(ab)c_.7若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.|a|b|a|b|a|2baa(b)acbcx1x2y1y210若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab _.x2y2x1x2y1y20A30B60C120 D150答案：D2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于 ()答案：C答案：B4.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 ()答
3、案：A1因为向量的数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来以下三点要特别注意：(1)当a0时，ab0不能推出b一定是零向量这是因为任一与a垂直的非零向量b都满足ab0，所以在代数中我们常用的“若ab0，则a0或b0”在向量的数量积中不适用(2)由abbc不能推出ac，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式，而ac是一个向量等式，所以两者不等价另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约的实质是相除，这是不允许的(3)结合律对数量积不成立，即(ab)ca(bc)这是因为(ab)c表示一个与向量c共线的向量，而a(bc)表示一个与向量a共线
4、的向量，但是向量a和向量c不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(ab)ca(bc)2利用abab0(向量式)和abx1x2y1y20(坐标式)来证明两条直线垂直，使判断直线垂直又多了一种简便的方法要注意将x1x2y1y20和判断平行的x1y2x2y10区别开，不要混淆记忆的方法是参照两条直线平行与垂直的条件已知直线l1的方程为A1xB1yC10，直线l2的方程为A2xB2yC20.若l1l2，则A1B2A2B10，若l1l2，则A1A2B1B20.考点一 平面向量的数量积及运算律【案例1】设a、b、c是任意的非零向量，且互不共线已知下列命题：(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；
5、(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有 ()ABCD关键提示：考查平面向量的数量积及运算律(即时巩固详解为教师用书独有)解析：对于，只有b和c方向相同时，两者才可能相等，所以错考虑式对应的几何意义，由“三角形两边之差小于第三边”知正确因为(bc)a(ca)bc0，所以垂直，即错对于，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以对答案：D【即时巩固1】下面给出的关系式中正确的个数是 ()0a0；abba；a2|a|2；(ab)ca(bc)；|ab|ab.A0 B1C2 D3解析：由数量积的结果为一个数，数乘的结果为一向量，知错，数量积有交换律，无
6、结合律，知对，错：由ab|a|b|cos，由|cos|1，知对；取ab，易知对；故选D.答案：D【案例2】在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 ()关键提示：结合图形与ab的几何意义答案：CA等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形D无法确定答案：A考点二 向量数量积的距离及夹角问题【案例3】已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角【即时巩固3】设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，|ab|c|，则a，b ()A150B120C60D30解析：由|ab|c|，两边平方得：a22abb2c2，因为|a|b|c|，所以|a|22
7、|a|a|cosa，b|a|2|a|2，所以a，b120.答案：B【案例4】已知向量a(2，sin)，b(1，cos)，则|ab|的最大值为_关键提示：将|ab|表示成三角函数的形式，再利用三角函数的范围求最大值【即时巩固4】已知向量a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超过5，则k的取值范围是_答案：6,2考点三 向量数量积与其他知识(三角、解几)的综合应用关键提示：利用向量平行和向量的数量积转化为三角函数形式，再求值解：(1)因为ab，所以2sin cos.【即时巩固5】设向量a(cos 23，cos 67)，向量b(cos 68，cos 22)，uatb(tR)(1)计算ab；(2)求|u|的最小值关键提示：设出N点坐标，由题意列关系式即可求出答案：x2y40
