1、1对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)_，那么f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)_，那么f(x)就叫做偶函数函数f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，还可以两者都不是，但是必须注意的是，研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称f(x)f(x)2奇函数的图象是关于_成_对称图形；偶函数的图象是关于_成_对称图形反之也成立在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为_函数；两个偶函数之积(商)是_函数；一奇一偶两函数之积(商)为_函数(注：取商时应使分母不为0)奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(x)f
2、(x)f(x)f(x)0原点中心y轴轴偶奇偶1下列函数中是奇函数的是 ()Ay2x3By3x2Cyln 5xDy|x|cos x解析：对于C，yln 5xxln 5，故此函数为奇函数答案：C2若函数f(x)是偶函数，当1x0时，f(x)x1，则0 x1时，f(x)的解析式为 ()Af(x)x1 Bf(x)1xCf(x)x1 Df(x)x1解析：当0 x1时，1x0，又f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)x1，故选B.答案：B3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是 ()答案B4设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.解析：f(2)
3、f(2)(223)1.答案：11奇函数、偶函数的代数特征我们可以灵活变通，即f(x)f(x)0是f(x)为奇函数的充要条件，f(x)f(x)0是f(x)为偶函数的充要条件若奇函数的定义域含有数0，则必有f(0)0.2定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件3我们可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性4如果f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)5判断函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数又不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数在解题过程中要注意挖掘函数的周期性和奇偶性特征，为解决问题提供方便6奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主
4、要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式考点一 判断函数的奇偶性【案例1】判断下列函数的奇偶性：关键提示：判断函数的奇偶性，需先求出定义域，在此前提下，根据奇函数(或偶函数)的定义进行分析(即时巩固详解为教师用书独有)解：(1)定义域是1,0)(0,1，所以f(x)f(x)，即f(x)是奇函数(2)(方法1)定义域为(，)，ln(1e2x)ln e2xxln(1e2x)xf(x)，所以f(x)是偶函数(方法2)f(x)f(x)ln(1e2x)(1e2x)ln(1e2x)22x2ln(1e2x)2x2f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数【即时
5、巩固1】判断下列函数的奇偶性(2)f(x)lg|x2|.解：(1)因为x210且1x20，所以x1，即f(x)的定义域是1,1因为f(1)0，f(1)0，所以f(1)f(1)，f(1)f(1)，故f(x)既是奇函数又是偶函数关键提示：从f(0)0入手考点二 函数奇偶性的应用A2B2C2或2D.无法确定答案C考点三 函数奇偶性、单调性的综合应用(1)求a和b的值(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围关键提示：(1)由f(0)0可求出b.用特殊值法对f(x)f(x)进行赋值求a.(2)利用单调性和奇偶性脱去“f”的符号【即时巩固3】设定义在2,2上的偶函数f(x)在0,2上单调递减若f(2m1)f(m)且m0，求实数m的取值范围解：因为f(x)在2,2上为偶函数，且在0,2上单调递减，所以f(x)在2,0上单调递增
