1、高考资源网（） 您身边的高考专家河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1已知向量= 【知识点】平面向量的数量积；向量
2、模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：，又，故选C. 【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2已知的共轭复数，复数 A B c1 D2【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案】【解析】A解析：，. 【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得，进而求得结论. 【题文】3某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A80种 B90种 C120种 D150种【知识点】排列与组合. J2【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学
3、校各两名教师的分法有种，共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4曲线处的切线方程为 A B C D【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：，曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，所求切线方程为，故选A. 【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5等比数列 A B C D【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为，又所以，故选D. 【思路点拨】根据积得导数公式求解.
4、 【题文】6经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B，若AB=4，则这样的直线有几条 A4条 B3条 C2条 D1条【知识点】直线与双曲线. H6 H8【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条. 【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数. 【题文】7设函数，则 A在单调递增 B在单调递减 C在单调递增 D在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答
5、案】【解析】D 解析：，因为，所以，又因为，所以，所以，经检验在单调递增，故选 D. 【思路点拨】根据已知条件求得函数，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =106，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为 A 1121万元 B1131万元 C1119万元 D1139万元【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4 【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（）代入回归方程得，所以广告费用为10万元时销售额为（万元），故选C. 【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a值，从而求得广告费用为10万元时销售额. 【
6、题文】9椭圆C的两个焦点分别是F1，F2若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【知识点】椭圆的性质. H5 【答案】【解析】C 解析：，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C. 【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10已知直三棱柱，的各顶点都在球O的球面上，且，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于 【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径R= ，由AB=AC=1，BC=得ABC是顶角是120的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此
7、三棱柱的体积为，故选B. 【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果. 【题文】11在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为 A4 B6 C8 D12【知识点】几何体中的距离求法. G11 【答案】【解析】 B解析：若点P在棱AD上，设AP=x，则，所以，解得，同理点P可以是棱的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B. 【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P的个数. 【题文】12定义在实数集R上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得恒成
8、立，则称是一个“关于函数”有下列“关于t函数”的结论：是常数函数中唯一一个“关于t函数”；“关于函数”至少有一个零点；是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是 A1 B2 C3 D0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：不正确，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即是一个“关于-1函数”； 正确，若f(x)是“关于函数”，则，取x=0，则，若任意一个为0，则函数f(x)有零点，若均不为0，则异号，由零点存在性定理知在内存在零点；不正确，若是一个“关于t函数”，则恒成立，则所以t不存在. 故选A. 【思路点拨】举例说明不正确；由函数零点存
9、在性定理及新定义说明正确；把代入新定义得t不存在，所以不正确. 【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题. 【题文】第卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。把每小题的答案填在答题纸的相应位置）【题文】13已知圆，若圆C上存在点P，使得，则删的最大值为_【知识点】圆的参数方程的应用. H3【答案】【解析】6 解析：设，则，因为APB=90，所以，其中，所以，故m的最大值为6. 【思路点拨】利用圆的参数方程，把问题转化为m关于参数的三角函数求解. 【题文】14抛物线上一点P到直线的距离与到点Q（2，2
10、）的距离之差的最大值为_【知识点】抛物线的定义；三角形的性质. H7 【答案】【解析】 解析：设此抛物线的焦点F(1，0),则P到准线x= -1的距离等于PF,由PF-PQQF=得所求最大值为. 【思路点拨】根据抛物线定义，结合三角形的性质确定结果. 【题文】15的展开式中各项系数的和为2则该展开式中常数项为 。【知识点】二项式定理的应用. J3【答案】【解析】40 解析：因为的展开式中各项系数的和为2，所以当x=1时，所以该展开式中常数项为：.故填40 . 【思路点拨】根据展开式中各项系数的和就是x=1时式子的值，得a=1,而组成展开式中常数项的是：第一因式的x 与第二因式展开式中含的项的积
11、，加上第一因式的与第二因式展开式中含x的项的积. 由此得所求结论. 【题文】16一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的 （填入所有可能的图形前的编号）锐角角三角形；直角三角形；钝角三角形；四边形；扇形；圆.【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】 解析：若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1 的正方形，即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角形或钝角
12、三角形；若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，如下图，则此几何体体积为，且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形.故这个几何体的俯视图可能是.【思路点拨】分析俯视图是某个图形时，是否与已知条件发生矛盾，从而筛选出结果. 【题文】三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）【题文】17（本小题满分12分） 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为 （1）求角A的大小； （2）若的周长的取值范围，【知识点】正弦定理；两角和与差的三角函数；已知角的范围求三角函数值的范围. C5 C7 C8 【答案】【解析】（1）A=；（2）. 解析：(1)又sinB=sin（A+C）=sinAco
13、sC+cosAsinC，sinC=-cosAsinC，sinC0，cosA= -,A（0，），A=；-4分（2）由正弦定理得，=.-8分,故ABC的周长的取值范围为 -12分【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式，再利用两角和与差的三角函数转化从而求得结论；（2）由（1）得,代入a+b+c的周长关于角B的函数，由此得周长的取值范围. 【题文】18（本小题满分12分） 已知数列，若和 （1）求数列的通项公式； （2）求数列【知识点】等差数列；已知递推公式求通项；裂项求和法. D1 D2 D4 【答案】【解析】(1) ，；（2）. 解析：（1）由题意知数列是公差为2 的等差数列，又因为=3，所以
14、，当n=1时，；当时，对不成立. 所以数列的通项公式为-6分（2）n=1时，当时，-8分所以-10分n=1仍然适合上式，综上得，-12分【思路点拨】（1）利用等差数列定义、通项公式求；利用求；（2）利用裂项求和法求数列的前n项和. 【题文】19（本小题满分12分） 如图，四棱柱面ABCD，ABDC， （1）证明：； （2）求二面角的正弦值； （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长【知识点】坐标法证明空间位置关系；求空间角；空间距离. G10 G11【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）；（3） . 解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A
15、(0,0,0) , B(0,0,2) ,C(1,0,1) ,.证明：易得,于是，-2分（2）. 设平面的法向量，则，消去x得y+2z=0,不妨取z=1，可得一个法向量-4分由（1），又,可得平面,故为平面的一个法向量，于是，从而，-5分故二面角的正弦值为，-6分（3），设,有.可取为平面的一个法向量，设为直线AM与平面所成的角，则于是舍去），-10分 -12分【思路点拨】（1）建立空间直角坐标系，得，由它们的数量积为零的结论；（2）求得二面角两半平面的法向量，由此求得二面角的余弦值，进而求得此二面角的正弦值；（3）利用直线AM与平面所成角的正弦值为,求得点M的坐标即可的结果. 【题文】20（本
16、小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由。【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆. H7 H8【答案】【解析】 解析：(1)设椭圆C的方程为），半焦距为c ，依题意，由右焦点到右顶点的距离为1 得：a-c=1.解得c=1,a=2, 所以.所以椭圆C的标准方程. -4分（2）存在直线，使得成立，理由如下：由得.由得.-6分设，则.若成立，即,所以，即化简得，-8分将代入得：.-10分又由12得，所以，解得或，所以实数m的取值范
17、围是-12分【思路点拨】（1）根据题意得关于a,b,c的方程组求得a,b 即可；（2）把直线方程代入椭圆方程，0得，设出A、B坐标，应用韦达定理. 由得，把韦达定理代入此等式，化简得, 由求得m范围. 【题文】21（本小题满分12分） 已知（1）若的单调减区间是求实数a的值；（2）若对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点，且的最大值【知识点】导数的应用. B12【答案】【解析】(1)3；（2）；（3）. 解析：（1）依题意得，则. 要使h(x)的单调减区间是，则，解得a=3.另一方面当a=3时，由解得，即h(x)的单调减区间是.综上所述a=3. -2分（2
18、）由题意得，设，则在上是正数，且x=1时，y=0 .当x（0,1）时；当x时，在（0,1）内是减函数，在是增函数. 即-6分（3）由题意得，则. 方程有两个不相等的实根，且又，且而 -10分设，则，在内是正数，即，所以m的最大值为.-12分【思路点拨】（1）由导数与函数单调性的关系求a值；（2）分离常数法求参数范围；（3）因为h（x）有两个极值点，而 . 方程有两个不相等的实根，且又，且从而 只需求的最小值，在内是正数，即，所以m的最大值为.【题文】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。【题文】22（本小题满分10分）如图，四
19、边形ABCD内接于圆求对角线BD、AC的长【知识点】几何证明选讲. N1 【答案】【解析】，AC. 解析：如图，延长DC,AB交于点E， BAD=60，ECB=60，ABC=90，BC=3，CD=5，EBC=90，E=30EC=2BC=23=6，EB=BC=3，ED=DC+CE=5+6=11，解得,AC=,-5分EDB=EAC,E=EEDBEAC， -10分【思路点拨】延长DC,AB交于点E，利用勾股定理，切割线定理，相似三角形性质求解. 【题文】23（本小题满分10分）已知直线l的参教方程为，直线l与曲线c交于A，B两点，与y轴交于点P（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值【知识点】参数
20、方程与极坐标. N3【答案】【解析】（1）；（2）. 解析：（1）利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为，曲线C的直角坐标方程是，即；-5分（2）把直线的参数方程代入曲线C 的方程得， ，.-10分【思路点拨】(1)利用，将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线C 的方程得，由参数的几何意义得：.【题文】24（本小题满分10分） 设函数（1）当a=4时，求不等式，的解集：（2）若的取值范围，【知识点】不等式选讲；不等式恒成立问题. N4 E8【答案】【解析】(1) ；(2) 或.解析：（1）当a=4时，不等式为，所以或或，解得或故不等式的解集为.-5分（2）因为(当x=1时等号成立)-8分所以，由题意得，解得或.-10分【思路点拨】（1）分段讨论解绝对值不等式；（2）利用绝对值不等式的性质：得，由题意得，解得或. - 16 - 版权所有高考资源网
