1、河北省深州市长江中学2021-2022学年高二数学上学期7月第一次月考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足，则的虛部为（ ）A. B. -2C. 2D. 2. 向量，若，则（ ）A. 1B. -1C. -2D. 23. 在中，若，则边（ ）A. 2B. C. D. 14. 某网店本月通过甲、乙、丙、丁四家快递公司寄出的快递数依次为200，80，120，100.若用分层抽样的方法从中抽取25件快递，则抽取的甲公司的快递数为（ ）A. 5B. 10C. 12D. 205. 如图，已知棱长为2的正方体， 分别为，的中点
2、，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. 0D. 16. 如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 7. 五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 给出以下结论，正确的为（ ）A.
3、 直线平面，直线，则B. 若，则C. 若，则或与相交D. 若，则、无公共点10. 已知复数在复平面上对应的点为，为虚数单位，则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 是实数11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A. 2个球都是红球的概率为B. 2 个球不都是红球的概率为C. 至少有1个红球的概率为D. 2个球中恰有1个红球的概率为12. 已知，分别是三内角，的对边，且满足，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 的面积最大值为D. 的面积最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若复数满足，则的模
4、长为_.14. 设向量，且，则_.15. 如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为_.16. 从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7.记事件：甲破译密码，事件：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）求密码被破译的概率.18. 如图，在长方体中
5、，底面是边长为2的正方形，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小.19. 为抗击新型冠状病毒肺炎疫情，某口罩生产企业职工在做好自身安全防护的同时，加班加点生产口罩发往疫区.该企业为保证口罩的质量，从某种型号的口罩中随机抽取100个，测量这些口罩的某项质量指标值，其频率分布直方图如图所示，其中该项质量指标值在区间内的口罩恰有8个.（1）求图中，的值；（2）用样本估计总体的思想，估计这种型号的口罩该项质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据质量指标标准，该项质量指标值不低于85，则为合格产品，试估计该企业生产这种型号口罩的质量合格率为多少？20. 在四棱
6、锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，为的中点，为的中点，.（1）求证：平面.（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.21. 如图，在五面体中，已知平面，.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.22. 2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识”“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本市1060岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示：（1）求的值，并求这组数据的中
7、位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在的回答5道题，年龄的回答3道题，题目都不同.用表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当的概率.长江中学2020级高二年级第一次月考考试试题数学参考答案1. B 【解析】，故的虚部为-2，故选：B.2. D 【解析】因为向量，所以，解得，故选：D.3. A 【解析】因为，所以，则，即，解得，故选：A.4. B 【解析】四家快递公司一共有件，抽样比为，故甲快递公司抽取的快递件数为.故选：B.5. C 【解析】如图分别以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，则、，所以，设异面直线与所成角为，
8、则，故选：C.6. A 【解析】，故选A.7. D 【解析】记事件至少有1人去厦门旅游，其对立事件为：三人都不去厦门旅游，由独立事件的概率公式可得，由对立事件的概率公式可得，故选：D.8. C 【解析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，取，得，所以平面的法向量，设平面与平面所成的锐二面角为，则，故选：C.9. BC 【解析】对于A，直线平面，直线，则与的关系可以平行或者异面，故A错误；对于B，若，则与平面只有一个交点，即相交，故B正确；对于C，若，则或与相交，故C正确；对于D，若，则与平面可以相交且与相交，故D错误；故选：BC.10. CD 【解析】根据题
9、意得，所以A，B选项错误，C，D选项正确.故选：CD.11. ACD 【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，2个球不都是红球的概率为，B选项错误；对于C选项，至少有1个红球的概率为，C选项正确；对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率，D选项正确.故选：ACD.12. BC 【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以；因为，所以，所以，所以，取等号时，所以，故选：BC.13. 【解析】由得，所以.14. 【解析】因为，所以，又，所以，解得.15. 30 【解析】由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：.16. 【解析】设3件正品为，1件次品为，从中不放回地任
10、取2件，试验的样本空间，共6个.其中恰有1件是次品的样本点有：，共3个，所以取出的2件中恰有1件是次品的概率为.17. 解：（1）由题意可知，且事件，相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥，所以，（3）.18. 解：（1）证明：连接，是长方体，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）连接，为异面直线与所成角，又平面，在中，异面直线与所成角的大小为.19. 解：（1）因为该项质量指标值在区间内的口罩恰有8个，所以，又，所以；（2）这种型号的口罩该项质量指标值的样本平均数为，利用样本估计总体的思想，可以认为这种型号的口罩项质量指
11、标值的样本平均数为100，方差为104；（3）从样本可知质量指标值不低于85的产品所占比例的估计值为，故样本的合格率为，所以可以认为该企业生产这种型号口罩的质量合格率为.20. 解：（1）连接，.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，是边长为2的等边三角形，又是等边三角形，是等腰三角形.为的中点，又，由勾股定理得，又由，都是边长为2的等边三角形，可知，由为等边三角形，为的中点，可知.又，平面，平面.平面.（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.设平面与平面所成锐角为，则，平面与平面所成锐角的余弦
12、值为.21. 解：（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以.（2）如图，在平面内过点作于点.因为平面，平面，所以.又平面，所以平面，所以是三棱锥的高.在直角三角形中，所以.因为平面，平面，所以.又由（1）知，且，所以，所以，所以三棱锥的体积.22. 解：（1）根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，故中位数为38.33.（2）因为和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽 2人，记为，；中抽3人，记为，；再从这5人种随机抽取3人的样本空间，共10个样本点，因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在的回答5道题，年龄的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从的2人中抽2人，从的3 人中抽1人，满足要求的样本点为，共3个，所以的概率.